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如图,将一块含30°角的学生用三角板放在平面直角坐标系中,使顶点A、B分别放置在y轴、x轴上,已知AB=2,∠ABO=∠ACB=30°.
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)求过A,B,C三点的抛物线解析式;
(3)在(2)中的抛物线上是否存在点P,使△PAB的面积等于△ABC的面积?若不存在,请说明理由;若存在,请你求出点P的坐标.

解:(1)在Rt△AOB中,∠ABO=30°,AB=2,
则OA=1,OB=
∴点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(,0),
在Rt△ABC中,AB=2,∠ACB=30°,
则BC=ABcot∠ACB=2
过点C作CD⊥x轴于点D,如图所示:

在Rt△BCD中,∠CBD=60°,BC=2
则BD=BCsin∠BCD=,CD=BD=3,
故点C的坐标为(2,3).
综上可得点A(0,1),点B(,0),点C(2,3).

(2)设y=ax2+bx+1,
将B(,0),C(2,3)代入可得:
解得:
故抛物线解析式为:y=x2-x+1.
(3)①当点P与点C重合时,很明显△PAB的面积等于△ABC,此时点P的坐标为(2,3).

②点P与点C不重合时,设直线AB解析式为y=kx+1,
将B(,0)代入可得:k+1=0,
解得:k=-
∴y=-x+1,
过点C作直线AB的平行线,则与抛物线交点为点P的位置,

设直线CP的解析式为y=-x+m,
将C(2,3)代入可得:3=-×2+m,
解得:m=5,
∴直线CP的解析式为y=-x+5,
联立抛物线与直线CP的解析式:
解得:
故此时点P的坐标为(-,6).
综上可得点P的坐标为(2,3)或(-,6).
分析:(1)在Rt△AOB中,可求出OA、OB,继而得出A、B的坐标,过点C作CD⊥x轴于点D,在Rt△BCD中求出BD,CD即可得出点C的坐标;
(2)利用待定系数法可求出过A,B,C三点的抛物线解析式;
(3)分两种情况讨论,①点P与点C重合,②点P与点C不重合,求出直线AB的解析式,过点C作直线AB的平行线,则与抛物线的交点即是符合题意的点P的位置.
点评:本题考查了二次函数综合题,前两问的求解比较简单,难点在第三问,解答本题的关键是根据平行线之间的距离相等找到点P的位置,另外不要忘记考虑点P与点C重合的情况造成漏解.
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