Question

2．已知二次函数y=ax²-4ax+3a（a＞0）的图象交x轴于A、B两点（A在B点的右边）交y轴于C点，且△ABC的面积为1．
（1）求A、B、C各点的坐标及抛物线的解析式；
（2）在图1中，设M（x，y）是抛物线上的一点，当x＜0时，是否存在以A、C、M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在图2中，作出过A、B、C三点的圆，标出圆心I的坐标及圆I交y轴于一点D的坐标；
（4）在（3）的基础上，在图3中，作圆F过C、D两点且与x轴相切，设P是x正半轴上的一个动点，∠P是否有最大值？如有，请求出最大度数；如没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先分别求出点A、B、C的坐标各是多少；然后根据△ABC的面积为1，求出a的值，即可求出点A、B、C的坐标及抛物线的解析式．
（2）存在以A、C、M为顶点的三角形与△ABC相似．首先作AM∥BC，MN⊥x轴于点N，根据△ABC∽△MCA，求出AM的值是多少；然后判断出△AMN是等腰直角三角形，进而求出M点的坐标是多少．
（3）首先设过A、B、C三点的圆的圆心I的坐标是（a，b），半径是r，则圆的解析式是y=（x-a）²+（y-b）²=r²；然后分别求a、b、r的值各是多少，即可确定圆的解析式；最后标出圆心I的坐标及圆I交y轴于一点D的坐标即可．
（4）首先设点P（x，0）（x＞0），∠DPO=α，∠CPO=β，则∠P=α-β；然后求出tan（α-β）的取值范围，确定出∠P的最大值是多少即可．

解答 解：（1）∵y=ax²-4ax+3a=a（x-1）（x-3），
∴A（3，0）、B（1，0）、C（0，3a），
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×3a=3a=1$，
解得a=$\frac{1}{3}$，
∴A（3，0）、B（1，0），C（0，1），
抛物线的解析式是y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+1．

（2）存在以A、C、M为顶点的三角形与△ABC相似．
如图1，作AM∥BC，MN⊥x轴于点N，

设M（x，y）是抛物线y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+1上的一点，
则∠ACB=∠MAC=α，∠BAC=β，
若$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AM}$，
则△ABC∽△MCA，
∴$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{AM}$，
解得AM=5$\sqrt{2}$，
∵OB=OC=1，
∴∠OBC=45°，
∴∠α+∠β=45°，
即∠MAN=45°，
又∵∠MNA=90°，
∴△AMN是等腰直角三角形，
∵AM=5$\sqrt{2}$，
∴AN=MN=5，
又∵OA=3，
∴ON=5-3=2，
∴M点的坐标是（-2，5），
∵$\frac{1}{3}$×（-2）²-$\frac{4}{3}$×（-2）+1=5，
∴点M在抛物线上，
∴存在以A、C、M为顶点的三角形与△ABC相似，M点的坐标是（-2，5）．

（3）如图2：

设过A、B、C三点的圆的圆心I的坐标是（a，b），半径是r，
则圆的解析式是y=（x-a）²+（y-b）²=r²，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{（1-a）}^{2}{+b}^{2}{=r}^{2}}\\{{（3-a）}^{2}{+b}^{2}{=r}^{2}}\\{{a}^{2}{+（1-b）}^{2}{=r}^{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\\{r=\sqrt{5}}\end{array}\right.$
∴圆的解析式是y=（x-2）²+（y-2）²=5，
令x=0，
则2²+（y-2）²=5，
解得y=1或y=3，
∵点C的坐标是（0，1），
∴点D的坐标是（0，3），
综上，可得
点I的坐标是（2，2），点D的坐标是（0，3）．

（4）如图3：

设点P（x，0）（x＞0），∠DPO=α，∠CPO=β，
则∠P=α-β，
∵OD=3，OC=1，
∴tan（α-β）=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanα•tanβ}$=$\frac{\frac{3}{x}-\frac{1}{x}}{1+\frac{3}{{x}^{2}}}=\frac{2x}{{x}^{2}+3}=\frac{2}{x+\frac{3}{x}}≤\frac{2}{2\sqrt{x×\frac{3}{x}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
当且仅当x=$\frac{3}{x}$，即x=$\sqrt{3}$时，等号成立，此时点P的坐标是（$\sqrt{3}$，0），
∵正切函数在第一象限是增函数，
∴∠P=α-β≤30°，
∴当点P的坐标是（$\sqrt{3}$，0）时，∠P的最大值是30°．

点评 （1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
（3）此题还考查了圆的解析式的求法，以及三角函数值的取值范围的判断，要熟练掌握．