Question

6．在坐标系xOy中，抛物线y=-x²+bx+c经过点A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点D为此抛物线上位于直线AC上方的一个动点，当△DAC的面积最大时，求点D的坐标；
（3）设抛物线顶点关于y轴的对称点为M，记抛物线在第二象限之间的部分为图象G．点N是抛物线对称轴上一动点，如果直线MN与图象G有公共点，请结合函数的图象，直接写出点N纵坐标t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），然后将a=-1代入即可求得抛物线的解析式；
（2）过点D作DE∥y轴，交AC于点E．先求得点C的坐标，然后利用待定系数法求得直线AC的解析式，设点D的坐标为（x，-x²-2x+3），则E点的坐标为（x，x+3），于是得到DE的长（用含x的式子表示，接下来，可得到△ADC的面积与x的函数关系式，最后依据配方法可求得三角形的面积最大时，点D的坐标；
（3）如图2所示：先求得抛物线的顶点坐标，于是可得到点M的坐标，可判断出点M在直线AC上，从而可求得点N的坐标，当点N′与抛物线的顶点重合时，N′的坐标为（-1，4），于是可确定出t的取值范围．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1）．
由题意可知：a=-1．
∴抛物线的解析式为y=-1（x+3）（x-1）即y=-x²-2x+3．
（2）如图所示：过点D作DE∥y轴，交AC于点E．

∵当x=0时，y=3，
∴C（0，3）．
设直线AC的解析式为y=kx+3．
∵将A（-3，0）代入得：-3k+3=0，解得：k=1，
∴直线AC的解析式为y=x+3．
设点D的坐标为（x，-x²-2x+3），则E点的坐标为（x，x+3）．
∴DE=-x²-2x+3-（x+3）=-x²-3x．
∴△ADC的面积=$\frac{1}{2}$DE•OA=$\frac{1}{2}$×3×（-x²-3x）=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$．
∴当x=-$\frac{3}{2}$时，△ADC的面积有最大值．
∴D（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
（3）如图2所示：

∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，4）．
∵点M与抛物线的顶点关于y轴对称，
∴M（1，4）．
∵将x=1代入直线AC的解析式得y=4，
∴点M在直线AC上．
∵将x=-1代入直线AC的解析式得：y=2，
∴N（-1，2）．
又∵当点N′与抛物线的顶点重合时，N′的坐标为（-1，4）．
∴当2＜t≤4时，直线MN与函数图象G有公共点．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、配方法求二次函数的最值，用函数x的式子表示出△ACD的面积是解题的关键．