Question

【题目】已知关于x的方程x2﹣（2k+3）x+k2+2k=0，有两个不相等的实数根x1，x2．

（1）求k的取值范围；

（2）若方程的两实数根x1，x2满足x1x2﹣x12﹣x22=﹣16，求实数k的值．

Answer 1

【答案】（1）k＞﹣；（2）k=1．

【解析】试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（2k+3）2﹣4（k2+2k）＞0，然后解不等式即可得到k的范围；

（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2k+3，x1x2=k2+2k，再利用完全平方公式把x1x2﹣x12﹣x22=﹣16变形为（x1+x2）2﹣3x1x2﹣16=0，则（2k+3）2﹣3（k2+2k）﹣16=0，然后解方程求出满足条件的k的值．

试题解析：解：（1）根据题意得：△=（2k+3）2﹣4（k2+2k）＞0，解得：k＞﹣；

（2）根据题意得：x1+x2=2k+3，x1x2=k2+2k，因为x1x2﹣x12﹣x22=﹣16，所以x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]=﹣16，即[（x1+x2）2﹣3x1x2﹣16=0，所以（2k+3）2﹣3（k2+2k）﹣16=0，解得：k1=﹣7，k2=1，而k＞﹣，所以k=1．