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如图,在直角坐标平面中,O为原点,A(0,6),B(8,0)。点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿射线AO方向运动,点Q从点B出发,以每秒一个单位长度的速度沿x轴正方向运动,P,Q两动点同时出发,设移动时间为t(t>0)秒.
(1)在点P,Q的运动过程中,当点P在AO的延长线上时,若△POQ与△AOB相似,求t的值;
(2)如图2,当直线PQ与线段AB交于点M,且时,求直线PQ的解析式;
(3)以点O为圆心,OP长为半径画圆⊙O,以点B为圆心,BQ长为半径画⊙B,讨论⊙O和⊙B的位置关系,并直接写出相应t的取值范围.
(1)据题意,t秒时AP=2t,BQ= t,OP =,OQ=" 8+t" 。
若△POQ∽△AOB,则,即
解得,                                      
若△POQ∽△BOA,则,即
解得,                                    
∴当或25时 △POQ与△AOB相似.           
(2)过M分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为N、G.
根据题意得PO//MN,∴△BMN∽△BAO   ∴
    ∴       ∴     ∴ MN=1
同理 MG=    ∴ M(,1)             
∵ OQ=" 8+t"    ∴ NQ=
由△QMN∽△QPO得:,即
解得:,或者t=0(舍去)
∴ P(0,)                                 
∴PQ直线解析式:                  
(3)当且t≠3时,两圆外离;当时,两圆外切;当时,两圆相交;当时,两圆内切;当时 两圆内含.
(1) △POQ∽△AOB,分两种情况进行讨论;
(2)过M分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为N、G.利用△BMN∽△BAO得出,从而得出MN的长,同理可得MG的长,得出M点的坐标,同理求出P点坐标,然后再求出PQ的解析式;
(3)对t进行分段讨论。
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