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    13．在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+tx+t+$\frac{1}{2}$与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧 ），其顶点M在直线y=2x上．
    （1）求t的值；
    （2）如图，C为线段OM上一点，过C作x轴的平行线交线段BM于点D，以CD为边向上作正方形CDEF，CF、DE分别交此抛物线于P、Q两点，是否存在这样的点C，使得正方形CDEF的面积的周长恰好被直线PQ平分？若存在，求C点的坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）将此抛物线A、B之间的部分（含点A 和点B）向右平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将直y=4x+6向下平移n个单位．请结合图象回答：平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围．

    分析 （1）利用二次函数顶点坐标求法结合顶点M在直线y=2x上，得出关于t的等式求出即可；
    （2）首先求出直线MB的解析式，进而表示出E，F，P，Q的坐标，利用正方形CDEF的面积的周长恰好被直线PQ平分，则CP=EQ，求出m的值即可；
    （3）首先假设平移后的直线与平移的二次函数相切，则方程4x+6+n=-$\frac{1}{2}$（x-3+n）（x+1+n）有两个相等的实数根，求出n的值不合题意，再利用平移后的直线与平移后的抛物线不相切，结合图象可知，平移后的直线与抛物线G有两个公共点，则这两个临界的交点为：（-n-1，0）与（3-n，0），代入关系式求出即可．

    解答 解：（1）由y=-$\frac{1}{2}$x2+tx+t+$\frac{1}{2}$可得：
    x=-$\frac{b}{2a}$=t，y=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{2（t+\frac{1}{2}）-{t}^{2}}{2}$，
    ∵顶点M在直线y=2x上，
    ∴$\frac{2（t+\frac{1}{2}）-{t}^{2}}{2}$=2t，
    解得：t1=t2=1，
    ∴抛物线解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x2+x+$\frac{3}{2}$；

    （2）如图1，∵M（1，2），B（3，0），设直线MB的解析式为：y=kx+d，
    则$\left\{\begin{array}{l}{k+d=2}\\{3k+d=0}\end{array}\right.$，
    解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{d=3}\end{array}\right.$，
    ∴直线MB的解析式为：y=-x+3．
    设C（m，2m），∴D（3-2m，2m），
    ∴正方形CDEF的边长为：3-3m，
    ∴E（3-2m，3-m），F（m，3-m），P（m，-$\frac{1}{2}$m2+m+$\frac{3}{2}$），Q（3-2m，-2m2+4m），
    ∵正方形CDEF的面积的周长恰好被直线PQ平分，
    ∴PQ过正方形的中心，
    ∴CP=EQ，
    ∴（-$\frac{1}{2}$m2+m+$\frac{3}{2}$）-2m=（3-m）-（-2m2+4m），
    整理得：5m2-8m+3=0，
    ∴解得：m1=$\frac{3}{5}$，m2=1（舍去），
    ∴C（$\frac{3}{5}$，$\frac{6}{5}$）；

    （3）如图2，由题意可得，点B，C间部分图象的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$（x-3）（x+1），-1≤x≤3，
    则抛物线向左平移后得到的图象G的解析式为：
    y=-$\frac{1}{2}$（x-3+n）（x+1+n），-n-1≤x≤3-n，
    此时直线平移后的解析式为：y=4x+6+n，
    如果平移后的直线与平移的二次函数相切，
    则方程4x+6+n=-$\frac{1}{2}$（x-3+n）（x+1+n）有两个相等的实数根，
    即-$\frac{1}{2}$x2-（n+3）x-$\frac{1}{2}$n2-$\frac{9}{2}$=0有两个相等的实数根，
    故△=[-（n+3）]2-4×（-$\frac{1}{2}$）×（-$\frac{1}{2}$n2-$\frac{9}{2}$）=6n=0，
    即n=0，
    ∵与已知n＞0相矛盾，
    ∴平移后的直线与平移后的抛物线不相切，
    ∴结合图象可知，平移后的直线与抛物线G有两个公共点，
    则这两个临界的交点为：（-n-1，0）与（3-n，0），
    则0=4（-n-1）+6+n，
    解得：n=$\frac{2}{3}$，
    0=4（3-n）+6+n，
    解得：n=6，
    即n的取值范围是：$\frac{2}{3}$≤n≤6．

    点评 此题主要考查了二次函数综合以及正方形的性质和一元二次方程的根的判别式等知识，利用数形几何得出平移后的直线与抛物线G有两个公共点是解题关键．

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    （1）求直线AB的解析式；
    （2）动点P从B点出发，沿射线BN以每秒1个单位长的速度匀速运动，同时，动点Q从A点出发，沿线段AB以每秒1个单位长的速度匀速运动，当Q点到达终点B时，P点随之停止运动．作PM∥BC，交x轴于点M，连接PQ、QM，设点P、Q运动的时间为t（秒），△PQM的面积为S（平方单位），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
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    （1）求抛物线的解析式；
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