Question

【题目】如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）30°

【解析】分析：（1）连结OB，如图，由CE=CB得到∠CBE=∠CEB，由CD⊥OA得到∠DAE+∠AED=90°，利用对顶角相等得∠CEB=∠AED，则∠DAE+∠CBE=90°，加上∠OAB=∠OBA，所以∠OBA+∠CBE=90°，然后根据切线的判定定理即可得到BC是⊙O的切线；
（2）连结OF，OF交AB于H，如图，由DF⊥OA，AD=OD，根据等腰三角形的判定得FA=FO，而OF=OA，所以△OAF为等边三角形，则∠AOF=60°，于是根据圆周角定理得∠ABF=∠AOF=30°．

详解：（1）证明：连结OB，如图，

∵CE=CB，

∴∠CBE=∠CEB，

∵CD⊥OA，

∴∠DAE+∠AED=90°，

而∠CEB=∠AED，

∴∠DAE+∠CBE=90°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∴∠OBA+∠CBE=90°，即∠OBC=90°，

∴OB⊥BC，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：连结OF，OF交AB于H，如图，

∵DF⊥OA，AD=OD，

∴FA=FO，

而OF=OA，

∴△OAF为等边三角形，

∴∠AOF=60°，

∴∠ABF=∠AOF=30°．