Question

如图1，A（-2，0），B（0，4），以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC．

（1）求C点的坐标；
（2）在坐标平面内是否存在一点P，使△PAB与△ABC全等？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点E为y轴正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△AEM，过M作MN⊥x轴于N，求OE-MN的值．

Answer 1

分析：（1））作CE⊥y轴于E，证△CEB≌△BOA，推出CE=OB=4，BE=AO=2，即可得出答案；
（2）分为四种情况，画出符合条件的图形，构造直角三角形，证三角形全等，即可得出答案；
（3）作MF⊥y轴于F，证△EFM≌△AOE，求出EF，即可得出答案．

解答：解：（1）作CE⊥y轴于E，如图1，
∵A（-2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∵∠CBA=90°，
∴∠CEB=∠AOB=∠CBA=90°，
∴∠ECB+∠EBC=90°，∠CBE+∠ABO=90°，
∴∠ECB=∠ABO，
在△CBE和△BAO中

∠ECB=∠ABO ∠CEB=∠AOB BC=AB

∴△CBE≌△BAO，
∴CE=BO=4，BE=AO=2，
即OE=2+4=6，
∴C（-4，6）．
（2）存在一点P，使△PAB与△ABC全等，
分为四种情况：①如图2，当P和C重合时，△PAB和△ABC全等，即此时P的坐标是（-4，6）；
②如图3，过P作PE⊥x轴于E，
则∠PAB=∠AOB=∠PEA=90°，
∴∠EPA+∠PAE=90°，∠PAE+∠BAO=90°，
∴∠EPA=∠BAO，
在△PEA和△AOB中

∠EPA=∠BAO ∠PEA=∠AOB PA=AB

∴△PEA≌△AOB，
∴PE=AO=2，EA=BO=4，
∴OE=2+4=6，
即P的坐标是（-6，2）；
③
如图4，过C作CM⊥x轴于M，过P作PE⊥x轴于E，
则∠CMA=∠PEA=90°，
∵△CBA≌△PBA，
∴∠PAB=∠CAB=45°，AC=AP，
∴∠CAP=90°，
∴∠MCA+∠CAM=90°，∠CAM+∠PAE=90°，
∴∠MCA=∠PAE，
在△CMA和△AEP中

∠MCA=∠PAE ∠CMA=∠PEA AC=AP

∴△CMA≌△AEP，
∴PE=AM，CM=AE，
∵C（-4，6），A（-2，0），
∴PE=4-2=2，OE=AE-A0=6-2=4，
即P的坐标是（4，2）；
④
如图5，过P作PE⊥x轴于E，
∵△CBA≌△PAB，
∴AB=AP，∠CBA=∠BAP=90°，
则∠AEP=∠AOB=90°，
∴∠BAO+∠PAE=90°，∠PAE+∠APE=90°，
∴∠BAO=∠APE，
在△AOB和△PEA中

∠BAO=∠APE ∠AOB=∠PEA AB=AP

∴△AOB≌△PEA，
∴PE=AO=2，AE=OB=4，
∴0E=AE-AO=4-2=2，
即P的坐标是（2，-2），
综合上述：符合条件的P的坐标是（-6，2）或（2，-2）或（4，2）或（-4，6）．
（3）如图6，作MF⊥y轴于F，
则∠AEM=∠EFM=∠AOE=90°，
∵∠AEO+∠MEF=90°，∠MEF+∠EMF=90°，
∴∠AEO=∠EMF，
在△AOE和△EMF中

∠AOE=∠EFM ∠AEO=∠EMF AE=EM

∴△AEO≌△EMF，
∴EF=AO=2，MF=OE，
∵MN⊥x轴，MF⊥y轴，
∴∠MFO=∠FON=∠MNO=90°，
∴四边形FONM是矩形，
∴MN=OF，
∴OE-MN=OE-OF=EF=OA=2．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，用了分类讨论思想．