Question

如图，二次函数y=a（x²-3x-4）（其中a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且tan∠BAC=2．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若以AC、BC为邻边作?ACBD，则D点关于x的对称点D′是否在该函数的图象上，为什么？
（3）在（2）的条件下过D′的直线将?ACBD的面积二等分，求这条直线的表达式．

Answer 1

分析：（1）令y=0，解方程求出A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，再根据∠BAC的正切值求出OC的长度，然后根据两边对应成比例夹角相等判定△AOC和△COB相似，根据相似三角形对应角相等可得∠ACO=∠CBO，然后求出∠ACB=90°，即可得解；
（2）根据（1）中OC的长度求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据平行四边形的对角线互相平分，先求出AB的中点坐标，然后利用中点公式求出点D的坐标，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求出点D′的坐标，最后代入二次函数解析式进行验证即可；
（3）根据过平行四边形中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，可知所求直线必过点D′与平行四边形中心，然后利用待定系数法求一次函数解析式求解即可．

解答：解：（1）△ABC是直角三角形．
理由如下：令y=0，则a（x²-3x-4）=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
所以，点A（-1，0），B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
∵tan∠BAC=2，
∴

OC

OA

=2，
即

OC

1

=2，
解得OC=2，
∵

OA

OC

=

1

2

，

OC

OB

=

2

4

=

1

2

，
∴

OA

OC

=

OC

OB

，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠CBO，
∵∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
即∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；

（2）由（1）可知OC=2，
所以，点C（0，-2），
把点C坐标代入y=a（x²-3x-4）得，-4a=-2，解得a=

1

2

，
所以，二次函数解析式为y=

1

2

（x²-3x-4），
∵?ACBD以AC、BC为邻边，
∴AB、CD互相平分，
∵点A（-1，0），B（4，0），

1

2

（-1+4）=1.5，
∴AB的中点坐标为（1.5，0），
∴点D的坐标为（3，2），
∵点D′与点D关于x轴对称，
∴点D′（3，-2），
当x=3时，y=

1

2

（3²-3×3-4）=-2，
所以，点D′在该函数的图象；

（3）∵过平行四边形中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，
∴所求直线过点（1.5，0），（3，-2），
设直线解析式为y=kx+b，
则

1.5k+b=0 3k+b=-2

，
解得

k=- 4 3 b=2

，
所以，直线解析式为y=-

4

3

x+2．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了二次函数与x轴的交点坐标的求解，相似三角形的判定与性质，平行四边形对角线互相平分的性质，关于x轴的对称点的坐标，以及待定系数法求函数解析式（二次函数与直线解析式），掌握过平行四边形中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分是解本题的关键．