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    已知：抛物线y=-x2+（m+2）x+m-1与x轴交于A、B两点（点A、B分别在原点O的左、右两侧），以OA、OB为直径作⊙O1和⊙O2．
    （1）请问：⊙O1和⊙O2，能否为等圆？若能，求出其半径的长度；若不能，说明理由；
    （2）设抛物线向上平移4个单位后，⊙O1、⊙O2的面积分别成为S1、S2，且4S2-16S1=5π，求平移后所得抛物线的解析式；
    （3）由（2）所得的抛物线与y轴交于点C，⊙O1和⊙O2的一条外公切线MN分别交x轴和y轴精英家教网于点P、Q（M、N为切点，如图所示），求△CPQ的面积．
    分析：（1）设A、B两点的坐标分别为（x1，0）（x2，0），由于A、B位于原点两侧，根据一元二次方程根与系数的关系可得出x1x2＜0，即m＞1．而要使两圆为等圆，必须满足的条件是抛物线的对称轴为y轴，即m=-2，因此两圆不可能成为等圆．
    （2）平移后抛物线的解析式为y=-x2+（m+2）x+m+3，可用十字相乘法得出A、B两点的坐标，也就求出了OA，OB的长，然后根据4S2-16S1=5π，即可求出m的值．也就能求出平移后抛物线的解析式了．
    （3）可连接O1M和O2N，过O1作O2N的垂线，通过两圆的半径和以及半径差求出OPQ的正弦值，然后在直角三角形PMO1中，根据⊙O1的半径和∠OPQ的正弦值求出PM和PO1的长，进而可求出OP、PQ、OQ的长，然后根据三角形的面积公式即可得出△CPQ的面积．
    解答：解：（1）不能为等圆；
    设A、B两点的坐标分别为（x1，0）（x2，0）
    x1•x2=-（m-1）＜0，m＞1
    ∴x1+x2=m+2＞0
    即x1+x2≠0，
    ∴A、B两点到原点距离不能相等
    即⊙O1和⊙O2的直径不相等．

    （2）抛物线向上平移4个单位，解析式为
    y=-x2+（m+2）x+m+3
    令y=0，x1=-1，x2=m+3
    ∴⊙O1，⊙O2的半径分别为1，m+3；
    ∵4S2-16S1=5π
    ∴（m+3）2-4=5
    m1=0，m2=-6
    当m=0时，y=-x2+2x+3
    当m=-6时，y=-x2-4x-3
    此时x1x2=3＞0，不合题意，舍去
    ∴所求抛物线解析式为y=-x2+2x+3．

    精英家教网（3）连接O1M，O2N，过O1作O1D⊥O2N于D，则O1M=
    1
    2
    ，O2N=
    3
    2

    ∴O1O2=2，O1D=1
    直角三角形O1O2D中，∠O2O1D=30°，
    ∴∠OPQ=30°，
    直角三角形O2PM中，O2M=
    1
    2
    ，
    ∴O2P=1
    ∴OP=
    3
    2
    ，OQ=
    		3
    2
    ，CQ=3+
    		3
    2

    ∴S△PCQ=
    1
    2
    CQ•OP=
    9
    4
    +
    3
    		3
    8
    ．
    点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系、二次函数的图形的平移、二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知一抛物线与x轴的交点是A（-1，0）、B（m，0）且经过第四象限的点C（1，n），而m+n=-1，mn=-12，求此抛物线的解析式．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：抛物线y=x2-（2m+4）x+m2-10与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点．
    （1）用配方法求顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；
    （2）“若AB的长为2
    		2
    ，求抛物线的解析式．”解法的部分步骤如下，补全解题过程，并简述步骤①的解题依据，步骤②的解题方法；
    解：由（1）知，对称轴与x轴交于点D（
     
    ，0）
    ∵抛物线的对称性及AB=2
    		2
    ，
    ∴AD=DB=|xA-xD|=2
    		2
    ．
    ∵点A（xA，0）在抛物线y=（x-h）2+k上，
    ∴0=（xA-h）2+k①
    ∵h=xC=xD，将|xA-xD|=
    		2
    代入上式，得到关于m的方程0=(
    		2
    )2+(      )    ②
    （3）将（2）中的条件“AB的长为2
    		2
    ”改为“△ABC为等边三角形”，用类似的方法求出此抛物线的解析式．

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    已知：抛物线y=x2-6x+c的最小值为1，那么c的值是（　　）
    A、10B、9C、8D、7

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知抛物线y=x2-4x+1，将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线．
    （1）求平移后的抛物线解析式；
    （2）由抛物线对称轴知识我们已经知道：直线x=m，即为过点（m，0）平行于y轴的直线，类似地，直线y=m，即为过点（0，m）平行于x轴的直线、请结合图象回答：当直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点，实数m的取值范围；
    （3）若将已知的抛物线解析式改为y=x2+bx+c（b＜0），并将此抛物线沿x轴向左平移-b个单位长度，试回答（2）中的问题．精英家教网

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•盐城模拟）如图a，在平面直角坐标系中，A（0，6），B（4，0）

    （1）按要求画图：在图a中，以原点O为位似中心，按比例尺1：2，将△AOB缩小，得到△DOC，使△AOB与△DOC在原点O的两侧；并写出点A的对应点D的坐标为
    （0，-3）
    （0，-3）
    ，点B的对应点C的坐标为
    （-2，0）
    （-2，0）
    ；
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    （3）连接DB，若点P在CB上，从点C向点B以每秒1个单位运动，点Q在BD上，从点B向点D以每秒1个单位运动，若P、Q两点同时分别从点C、点B点出发，经过t秒，当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？

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