Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，DE⊥AB于点E，且∠ADE＝60°，C是上一点，连结AC，CD．

（1）求∠ACD的度数；

（2）证明：AD2＝ABAE；

（3）如果AB＝8，∠ADC＝45°，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案．（根据编出的问题层次，给不同的得分）

Answer 1

【答案】（1）∠ACD＝60°；（2）见解析；（3）请计算AC的长度，AC＝4．

【解析】

(1)连接OD，利用圆周角定理和等腰三角形的性质解答；

(2)连接BD，利用圆周角定理和射影定理证明或通过证明△ADE∽△ABD得到该结论；

(3)求AC的长度．如图2，连接OC，BC，利用圆周角定理和等腰三角形的判定得到△ABC是等腰直角三角形，则由勾股定理了求得AC的长度即可．

(1)如图，连接OD，

∵OA=OD，∠ADE=60°，DE⊥AB，

∴∠OAD=∠ODA=90°-∠ADE =90°-60°=30°．

∴∠AOD=180°-∠OAD-∠ODA=180°-30°-30° =120°，

∴∠ACD=∠AOD=60°；

(2)如图，连接BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90，

∵在△ADE和△ABD中，∠DAE=∠BAD，∠AED=∠ADB=90，

∴△ADE∽△ABD．

∴．

∴AD2=ABAE；

(3)请计算AC的长度．

如图2，连接OC，BC．

∵∠ADC=45°，

∴∠AOC=2∠ADC=90°，

又∵点O是AB的中点，

∴AC=BC，

又∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴AC2+BC2=AB2，即2AC2=AB2=82，

则AC=4．