Question

【题目】如图，已知四边形ABCD中，∠A+∠DCB=180°，两组对边延长后，分别交于P、Q两点，∠APD、∠AQB的平分线交于M，求证：PM⊥QM．

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】

试题分析：连接PQ，由三角形内角和定理可得出∠QCP=180°﹣∠1﹣∠2，∠A=180°﹣∠AQP﹣∠APQ=180°﹣∠1﹣∠2﹣∠AQB﹣∠APD，再根据∠APD、∠AQB的平分线交于点M可知∠AQB=2∠3，∠APD=2∠4，再由三角形外角的性质可得出∠QMP=（∠BCD+∠A），进而得出结论．

证明：连接PQ，

∵∠QCP=180°﹣∠1﹣∠2，

∠A=180°﹣∠AQP﹣∠APQ=180°﹣∠1﹣∠2﹣∠AQB﹣∠APD，

又∵∠APD、∠AQB的平分线交于点M，

∴∠AQB=2∠3，∠APD=2∠4，

∴∠QCP+∠A=（180°﹣∠1﹣∠2）+（180°﹣∠1﹣∠2﹣2∠3﹣2∠4）

=360°﹣2∠1﹣2∠2﹣2∠3﹣2∠4，

∴（∠QCP+∠A）=180°﹣∠1﹣∠2﹣∠3﹣∠4，

又∵∠BCD=∠QCP，

∴（∠BCD+∠A）=180°﹣∠1﹣∠2﹣∠3﹣∠4，

又∵∠QMP=180°﹣∠MQP﹣∠MPQ=180°﹣∠1﹣∠3﹣∠2﹣∠4，

∴∠QMP=（∠BCD+∠A）=×180°=90°，即PM⊥QM．