Question

15．已知实数关于x的方程x²+kx+k=0有两个相等的实数根，m，n是关于x的一元二次方程kx²+x-1=0的两个实数根，求代数式4m³n+m²n的值．

Answer 1

分析 首先根据方程x²+kx+k=0有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b²-4ac=0，求得k的值，代入方程kx²+x-1=0，然后根据根与系数的关系即可得到结果

解答 解：∵方程x²+kx+k=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即k²-4×1×k=0，
解得k=0或4，
∵方程kx²+x-1=0是一元二次方程，
∴k=4，
∴方程kx²+x-1=0为：4x²+x-1=0，
∵m，n是关于x的一元二次方程kx²+x-1=0的两个实数根，
∴m+n=-$\frac{1}{4}$，mn=-$\frac{1}{4}$，4m²+m=1
∴4m³n+m²n=mn（4m²+m）=-$\frac{1}{4}$×1=-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，根判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．