Question

13．如图，已知抛物线y=ax²-2ax-b（a＞0）与x轴的一个交点为B（-1，0），与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．
（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点A的坐标；
（2）若以AD为直径的圆经过点C，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）已知抛物线解析式和点B的坐标求出a值，利用对称轴x=-$\frac{b}{2a}$求出对称轴以及点A的坐标．
（2）本题要靠辅助线的帮助．连接AC，AD，过DM⊥y轴于点M．证明△AOC∽△CMD后可推出a，b的值．
（3）证明四边形BAFE为平行四边形，求出BA，EF得出点F的坐标．

解答 解：（1）对称轴是直线：x=-$\frac{-2a}{2a}$=1，
∵抛物线y=ax²-2ax-b（a＞0）与x轴的一个交点为B（-1，0），对称轴是直线x=1，
∴点A的坐标是（3，0）；

（2）如图1，连接AC、AD，过D作DM⊥y轴于点M，
解法一：∵以AD为直径的圆经过点C，
∴∠ACD=90°，
∴∠OCA+∠MCD=90°，
∵∠OCA+∠OAC=90°，∠CDM+∠MCD=90°，
∴∠OCA=∠CDM，∠OAC=∠MCD，
∴△AOC∽△CMD，
∵点A、D、C的坐标分别是A（3，0），D（1，-a-b）、
C（0，-b），
∴AO=3，MD=1．
由$\frac{AO}{CM}$=$\frac{OC}{MD}$，
得$\frac{3}{a}$=$\frac{b}{1}$，
∴3-ab=0．
又∵0=a×（-1）²-2a×（-1）-b，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{3-ab=0}\\{3a-b=0}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴函数解析式为：y=x²-2x-3．
解法二：利用以AD为直径的圆经过点C，连接CD．
∵点A、D的坐标分别是A（3，0）、D（1，-a-b）、C（0，-b），
∴AC=$\sqrt{9+{b}^{2}}$，CD=$\sqrt{1+{a}^{2}}$，AD=$\sqrt{4+（-a-b）^{2}}$，
∵AC²+CD²=AD²，
∴3-ab=0①
又∵0=a×（-1）²-2a×（-1）-b②
由①、②得a=1，b=3，
∴函数解析式为：y=x²-2x-3．

（3）如图2所示，当BAFE为平行四边形时，
则BA∥EF，并且BA=EF．
∵BA=4，
∴EF=4
由于对称为x=1，
∴点F的横坐标为5．
将x=5代入y=x²-2x-3得y=12，
∴F（5，12）．
根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上也存在点F，
使得四边形BAEF是平行四边形，此时点F坐标为（-3，12）．
当四边形BEAF是平行四边形时，点F即为点D，
此时点F的坐标为（1，-4）．
综上所述，点F的坐标为（5，12），（-3，12）或（1，-4）．

点评 本题考查的是二次函数的综合运用以及平行四边形的判定定理，利用数形结合以及分类讨论得出F点的坐标是解题关键．