Question

如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E．
（1）如图1，猜想∠QEP=      °；
（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；
（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．

Answer 1

（1） 60°；(2) 60°，证明见解析；（3）．

试题分析：（1）由△ACP≌△BCQ得到∠APC=∠Q，根据圆周角定理，点P、E、C、Q 四点共圆，所以∠QEP=∠PCQ=6O°．
（2）同（1）可得．
（3）证明△GBC为等腰直角三角形，即可根据等腰直角三角形的性质求得BQ的长．
（1）60°．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°．
又由题意可知，CP=CQ，∠PCQ=6O°，
∴∠ACP=∠BCQ．
∴△ACP≌△BCQ．
∴∠APC=∠Q．
∴点P、E、C、Q 四点共圆．
∴∠QEP=∠PCQ=6O°．
（2）60°．以∠DAC是锐角为例证明如下:
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°．
又由题意可知，CP=CQ，∠PCQ=6O°，
∴∠ACP=∠BCQ．
∴△ACP≌△BCQ．
∴∠APC=∠Q．
∴点P、E、C、Q 四点共圆．
∴∠QEP=∠PCQ=6O°．
（3）设PC与BQ交于点G，
由题意可求，∠APC=30°，∠PCB=45°．
又由（2）可证 ∠QEP=60°．
∴可证QE垂直平分PC，
∴△GBC为等腰直角三角形．
∵AC=4，
∴，
∴．