如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线y=x2+bx+c经过点B,且顶点在直线x=上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出P点的坐标;
(4)在(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合),过点M作∥BD交x轴于点N,连接PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S和t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,S是否存在最大值?若存在,求出最大值和此时M点的坐标;若不存在,说明理由.
分析:(1)根据抛物线y=经过点B(0,4),以及顶点在直线x=上,得出b,c即可; (2)根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),利用图象上点的性质得出x=5或2时,y的值即可. (3)首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,求出解析式,当x=时,求出y即可; (4)利用MN∥BD,得出△OMN∽△OBD,进而得出,得到ON=,进而表示出△PMN的面积,利用二次函数最值求出即可. 解答:解:(1)∵抛物线y=经过点B(0,4) ∴c=4, ∵顶点在直线x=上, ∴; ∴所求函数关系式为; (2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4, ∴AB=, ∵四边形ABCD是菱形, ∴BC=CD=DA=AB=5, ∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0), 当x=5时,y=, 当x=2时,y=, ∴点C和点D都在所求抛物线上; (3)设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点, 设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b, 则, 解得:, ∴, 当x=时,y=, ∴P(), (4)∵MN∥BD, ∴△OMN∽△OBD, ∴即得ON=, 设对称轴交x于点F, 则(PF+OM)·OF=(+t)×, ∵, ()×=, S=(-), =-(0<t<4), S存在最大值. 由S=-(t-)2+, ∴当S=时,S取最大值是, 此时,点M的坐标为(0,). 点评:此题主要考查了二次函数的综合应用,以及菱形性质和待定系数法求解析式,求图形面积最值,利用二次函数的最值求出是解题关键. |
考点:二次函数综合题. |
科目:初中数学 来源: 题型:
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科目:初中数学 来源: 题型:
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