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如图,已知AB是半圆O的直径,AP为过点A的半圆的切线.在上任取一点C(点C与A、B不重合),过点C作半圆的切线CD交AP于点D;过点C作CE⊥AB,垂足为E.连接BD,交CE于点F.
(1)当点C为的中点时(如图1),求证:CF=EF;
(2)当点C不是的中点时(如图2),试判断CF与EF的相等关系是否保持不变,并证明你的结论.

【答案】分析:(1)由题意得DA⊥AB,点E为半圆的圆心,DC⊥EC,可得四边形DAEC是矩形,即可得出,即可得EF与EC的关系,可知CF=EF;
(2)连接BC,并延长BC交AP于G点,连接AC,由切线长定理可得DC=DA,∠DAC=∠DCA,再由角度代换关系可得出∠DGC=∠DCG,即可得GD=DC=DA,由已知可得CE∥AP,所以,即可知CF=EF.
解答:证明:(1)∵DA是切线,AB为直径,
∴DA⊥AB.
∵点C是的中点,且CE⊥AB,
∴点E为半圆的圆心.
又∵DC是切线,
∴DC⊥EC.
又∵CE⊥AB,
∴四边形DAEC是矩形.
∴CD∥AO,CD=AD.
=
即EF=AD=EC.
∴F为EC的中点,CF=EF.

(2)CF=EF,
证明:连接BC,并延长BC交AP于G点,连接AC,如图所示:
∵AD、DC是半圆O的切线,∴DC=DA,
∴∠DAC=∠DCA.
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ACG=90°.
∴∠DGC+∠DAC=∠DCA+∠DCG=90°.
∴∠DGC=∠DCG.
∴在△GDC中,GD=DC.
∵DC=DA,
∴GD=DA.
∵AP是半圆O的切线,
∴AP⊥AB,又CE⊥AB.
∴CE∥AP.

∵GD=AD,
∴CF=EF.
点评:本题主要考查了切线的性质.
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