Question

（2012•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=

5

4

x+m（m为常数）的图象与x轴交于点A（-3，0），与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．
（1）求m的值及抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；
（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂）两点，试探究

M1P•M2P

M1M2

是否为定值，并写出探究过程．

Answer 1

分析：（1）首先求得m的值和直线的解析式，根据抛物线对称性得到B点坐标，根据A、B点坐标利用交点式求得抛物线的解析式；
（2）存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．如答图1所示，过点E作EG⊥x轴于点G，构造全等三角形，利用全等三角形和平行四边形的性质求得E点坐标和平行四边形的面积．注意：符合要求的E点有两个，如答图1所示，不要漏解；
（3）本问较为复杂，如答图2所示，分几个步骤解决：
第1步：确定何时△ACP的周长最小．利用轴对称的性质和两点之间线段最短的原理解决；
第2步：确定P点坐标P（1，3），从而直线M₁M₂的解析式可以表示为y=kx+3-k；
第3步：利用根与系数关系求得M₁、M₂两点坐标间的关系，得到x₁+x₂=2-4k，x₁x₂=-4k-3．这一步是为了后续的复杂计算做准备；
第4步：利用两点间的距离公式，分别求得线段M₁M₂、M₁P和M₂P的长度，相互比较即可得到结论：

M1P•M2P

M1M2

=1为定值．这一步涉及大量的运算，注意不要出错，否则难以得出最后的结论．

解答：解：（1）∵y=

5

4

x+m经过点（-3，0），
∴0=-

15

4

+m，解得m=

15

4

，
∴直线解析式为y=

5

4

x+

15

4

，C（0，

15

4

）．
∵抛物线y=ax²+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（-3，0），∴另一交点为B（5，0），
设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-5），
∵抛物线经过C（0，

15

4

），
∴

15

4

=a•3（-5），解得a=-

1

4

，
∴抛物线解析式为y=-

1

4

x²+

1

2

x+

15

4

；

（2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则AC∥EF且AC=EF．如答图1，
（i）当点E在点E位置时，过点E作EG⊥x轴于点G，
∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG，
又∵

∠EGF=∠COA=90° ∠GFE=∠OAC EF=AC

，
∴△CAO≌△EFG，
∴EG=CO=

15

4

，即y_E=

15

4

，
∴

15

4

=-

1

4

x_E²+

1

2

x_E+

15

4

，解得x_E=2（x_E=0与C点重合，舍去），
∴E（2，

15

4

），S_?ACEF=

15

2

；
（ii）当点E在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x轴于点G′，
同理可求得E′（

31

+1，-

15

4

），S_?ACF′E′=

15 31 +105

4

．

（3）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．
如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）．
∵B（5，0），C（0，

15

4

），∴直线BC解析式为y=-

3

4

x+

15

4

，
∵x_P=1，∴y_P=3，即P（1，3）．
令经过点P（1，3）的直线为y=kx+b，则k+b=3，即b=3-k，
则直线的解析式是：y=kx+3-k，
∵y=kx+3-k，y=-

1

4

x²+

1

2

x+

15

4

，
联立化简得：x²+（4k-2）x-4k-3=0，
∴x₁+x₂=2-4k，x₁x₂=-4k-3．
∵y₁=kx₁+3-k，y₂=kx₂+3-k，∴y₁-y₂=k（x₁-x₂）．
根据两点间距离公式得到：
M₁M₂=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(x1-x2)2+k2(x1-x2)2

=

1+k2

•

(x1-x2)2

∴M₁M₂=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

(2-4k)2-4(-4k-3)

=4（1+k²）．
又M₁P=

(x1-1)2+(y1-3)2

=

(x1-1)2+(kx1+3-k-3)2

=

1+k2

•

(x1-1)2

；
同理M₂P=

1+k2

•

(x2-1)2

∴M₁P•M₂P=（1+k²）•

(x1-1)2(x2-1)2

=（1+k²）•

[x1x2-(x1+x2)+1]2

=（1+k²）•

[-4k-3-(2-4k)+1]2

=4（1+k²）．
∴M₁P•M₂P=M₁M₂，
∴

M1P•M2P

M1M2

=1为定值．

点评：本题是难度很大的中考压轴题，综合考查了初中数学的诸多重要知识点：代数方面，考查了二次函数的相关性质、一次函数的相关性质、一元二次方程根与系数的关系以及二次根式的运算等；几何方面，考查了平行四边形、全等三角形、两点间的距离公式、轴对称-最短路线问题等．本题解题技巧要求高，而且运算复杂，因此对考生的综合能力提出了很高的要求．