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9.如图,己知点P从边长为1的正方形ABCD的顶点B出发,沿着BC边向点C方向运动,到点P与C点重合时停止,连接AP并以AP为直角边在AP右侧作等腰直角△APQ,其中∠APQ=90°,则在运动过程中,点Q所经过的路程长为(  )
A.$\sqrt{2}$B.2C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$πD.$\frac{\sqrt{2}}{3}$π

分析 如图,延长AD到M,使得DM=AD,连接CM,则点Q运动轨迹是线段CM.只要证明△ABP≌△PNQ,CN=QN即可解决问题.

解答 解:如图,延长AD到M,使得DM=AD,连接CM,则点Q运动轨迹是线段CM.

作QN⊥BC于N,
∵PA=PQ,∠APQ=90°,
∴∠APB+∠QPN=90°,∠QPN+∠PQN=90°,
∴∠APB=∠PQN,
在△ABP和△PNQ中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠PNQ=90°}\\{∠APB=∠PQN}\\{AP=PQ}\end{array}\right.$,
∴△ABP≌△PNQ,
∴AB=PN=BC,PB=NQ,
∴PB=CN=QN,
∴∠QCN=45°,
∴点Q在线段CM上,点Q的运动轨迹是线段CM,
CM=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$.
故选A.

点评 本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、轨迹等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形,属于中考常考题型.

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