精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
9.已知抛物线y=x2-(k+2)x+$\frac{5k+2}{4}$和直线y=(k+1)x+(k+1)2
(1)求证:无论k取何实数值,抛物线与x轴有两个不同的交点;
(2)抛物线与x轴交于点A,B,直线与x轴交于点C,设A,B,C三点的横坐标分别是x1,x2,x3,求x1•x2•x3的最大值.

分析 (1)令y=0得到关于x的一元二次方程,然后根据一元二次方程根的判别式进行判定即可;
(2)由韦达定理可求得${x}_{1}•{x}_{2}=\frac{5k+2}{4}$,y=0可求得:x3=-(k+1),然后列出x1•x2•x3与k的函数关系式,最后利用配方法即可求得其最大值.

解答 解:(1)△=${b}^{2}-4ac=[-(k+2)]^{2}-4×1×\frac{5k+2}{4}$
=k2+4k+4-5k-2
=k2-k+2
=$(k-\frac{1}{2})^{2}+\frac{7}{4}$
∴△>0.
∴抛物线与x轴有两个不同的交点.
(2)由韦达定理可知:${x}_{1}•{x}_{2}=\frac{5k+2}{4}$,
令直线方程y=0得:(k+1)x+(k+1)2=0,解得:x3=-(k+1),
∴x1•x2•x3=-(k+1)×$\frac{5k+2}{4}$=$-\frac{5}{4}(k+\frac{7}{10})^{2}+\frac{9}{80}$.
当k=$-\frac{7}{10}$时,x1•x2•x3有最大值,最大值为$\frac{9}{80}$.

点评 本题主要考查的是二次函数的最值和一元二次方程根的判别式、根与系数关系的应用,将函数问题转化为方程问题是解题解题的关键.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

19.已知等腰三角形一边等于4,另一边等于9,它的周长是22.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

20.李明到超市购买2B铅笔和橡皮,2B铅笔每支0.8元,橡皮每块1.2元,李明同学拿了10元钱,则可供他选择的购买方案有(两样都买,余下的钱少于0.8元)7种.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

17.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D为AB的中点,BC=3,AB=9,△DBC沿着CD翻折后,点B落到点E,那么AE的长为7.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

4.如图是由7×7个边长为单位1的正方形组成的大正方形,每个小正方形顶点称为格点,请连结图中的格点.
(1)使线段AB长为有理数;
(2)使线段CD长不是有理数;
(3)使所得正方形的面积为5.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

14.如图,正方形MNBC内有一点A,以AB,AC为边向△ABC外作正方形ABRT和正方形ACPQ,连结RM,BP.求证:BP∥RM.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

1.化简$\sqrt{{{(-8)}^2}}$的结果是(  )
A.-8B.8C.±4D.±8

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

18.下列命题:①全等三角形的对应角相等;②三个角对应相等的两个三角形全等;③有一边和两角相等的两个三角形全等;④有两边和一角对应相等的两个三角形全等,其中正确的有(  )
A.4个B.3个C.2个D.1个

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

19.数轴上表示数-4和表示数4的两点之间的距离是8.

查看答案和解析>>

同步练习册答案