Question

6．已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为AC边上的一个动点，点E在BC边的延长线上，∠CAE=∠CBD．
（1）如图1，若点D为AC边的中点，求证：BC=2CE；
（2）如图2，若$\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{3}$，试猜想线段BC与CE的数量关系，并说明理由；
（3）若$\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{n}$，则$\frac{BC}{CE}$的值为$\frac{2}{n-1}$．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作AF⊥BC于F．只要证明△ABD∽△FEA，可得$\frac{AB}{EF}$=$\frac{AD}{AF}$，推出$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，由此即可解决问题；
（2）结论：BC=CE．证明方法类似（1）；
（3）由（1）可知：$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{n}$由AF=BF=CF，可得EC=（n-1）AF，由BC=2AF，即可推出$\frac{BC}{EC}$=$\frac{2AF}{（n-1）AF}$=$\frac{2}{n-1}$；

解答 （1）证明：如图1中，作AF⊥BC于F．

∵AB=AC，∠BAC=90°，AF⊥BC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，AF=BF=CF，
∵∠ACB=∠CAE+∠E，∠ABC=∠ABD+∠CBD，∠DBC=∠CAE，
∴∠ABD=∠E，∵∠BAD=∠AFE=90°，
∴△ABD∽△FEA，
∴$\frac{AB}{EF}$=$\frac{AD}{AF}$，
∴$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴AF=CF=CE=BF，
∴BC=2CE．

（2）结论：BC=CE．
理由：如图2中，作AF⊥BC于F．

由（1）可知：$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
∵AF=BF=CF，
∴EC=2AF，
∴BC=CE．

（3）由（1）可知：$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{n}$
∵AF=BF=CF，
∴EC=（n-1）AF，
∵BC=2AF，
∴$\frac{BC}{EC}$=$\frac{2AF}{（n-1）AF}$=$\frac{2}{n-1}$，
故答案为$\frac{2}{n-1}$．

点评 本题考查相似三角形综合题，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．