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【题目】已知二次函数y=x2+2bx+c(b、c为常数).

(Ⅰ)当b=1,c=﹣3时,求二次函数在﹣2≤x≤2上的最小值;

(Ⅱ)当c=3时,求二次函数在0≤x≤4上的最小值;

(Ⅲ)当c=4b2时,若在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为21,求此时二次函数的解析式.

【答案】(Ⅰ)﹣4(Ⅱ)①3,②﹣b2+3;③8b+19(Ⅲ)①y=x2+x+7,②b=﹣(舍)或b=(舍)③b=或b=﹣2,此时二次函数的解析式为y=x2+x+7或y=x2﹣4x+16

【解析】(Ⅰ)把b=2c=3代入函数解析式,求二次函数的最小值;

(Ⅱ)根据当c=5时,若在函数值y=l的情况下,只有一个自变量x的值与其对应,得到x2+bx+5=1有两个相等是实数根,求此时二次函数的解析式;

(Ⅲ)当c=b2时,写出解析式,分三种情况减小讨论即可.

解:(Ⅰ)当b=1,c=﹣3时,二次函数解析式为y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,

∴x=﹣1在﹣2≤x≤2的范围内,此时函数取得最小值为﹣4,

(Ⅱ)y=x2+2bx+3,的对称轴为x=﹣b,

①若﹣b<0,即b>0时,当x=0时,y有最小值为3,

②若0≤b≤4,即:﹣4≤b≤0时,当x=﹣b时,y有最小值﹣b2+3;

③若﹣b>4,即b<﹣4时,当x=﹣4时,y有最小值为8b+19,

(Ⅲ)当c=4b2时,二次函数的解析式为y=x2+2bx+4b2,它的开口向上,对称轴为x=﹣b的抛物线,

①若﹣b<2b,即b>0时,在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下,与其对应的函数值y随x增大而增大,

∴当x=2b时,y=(2b)2+2b×2b+(2b)2=12b2为最小值,

∴12b2=21,∴b=或b=﹣(舍)∴二次函数的解析式为y=x2+x+7,

②若2b≤﹣b≤2b+3,即﹣1≤b≤0,

当x=﹣b时,代入y=x2+2bx+4b2,得y最小值为3b2

∴3b2=21∴b=﹣(舍)或b=(舍),

③若﹣b>2b+3,即b<﹣1,在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下,与其对应的函数值y随x增大而减小,

∴当x=2b+3时,代入二次函数的解析式为y=x2+2bx+4b2中,得y最小值为12b2+18b+9,

∴12b2+18b+9=21,∴b=﹣2或b=(舍),∴二次函数的解析式为y=x2﹣4x+16.

综上所述,b=或b=﹣2,此时二次函数的解析式为y=x2+x+7或y=x2﹣4x+16

“点睛”本题考查了二次函数的最值:当a0时,抛物线在对称轴左侧,yx的增大而减少;在对称轴右侧,yx的增大而增大,因为图象有最低点,所以函数有最小值,当x=时,y=;当a0时,抛物线在对称轴左侧,yx的增大而增大;在对称轴右侧,yx的增大而减少,因为图象有最高点,所以函数有最大值,当x=时,y=;确定一个二次函数的最值,首先看自变量的取值范围,当自变量取全体实数时,其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标;当自变量取某个范围时,要分别求出顶点和函数端点处的函数值,比较这些函数值,从而获得最值.

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