Question

△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点，就下面给出的三种情况，如图中的①②③，先用量角器分别测量∠BQM的大小，然后猜测∠BQM等于多少度．并利用图③证明你的结论．

Answer 1

分析：先用量角器分别测量∠BQM的大小，再在③中根据三角形外角的性质及等边三角形的性质得出∠BAN=∠ACM=120°，由全等三角形的判定定理得出△ABN≌△CAM，再由三角形外角的性质即可得出结论．

解答：猜想：∠BQM=60°，
证明：如图③，在△ABN和△CAM中，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAN=∠ACM=60°，
∵BM=CN，AC=BC，
∴AN=CM，
又∵AB=AC，
∴△ABN≌△CAM，
∴∠N=∠M，
∴∠BQM=∠N+∠QAN=∠M+∠CAM=∠ACB=60°．

点评：本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质及三角形外角的性质，根据题意判断出△ABN≌△CAM是解答此题的关键．