Question

6．如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠CAE=15°，AE=2，求△ACF的周长．

Answer 1

分析 （1）根据“HL”即可判定：△ABE≌△CBF．
（2）在Rt△ABE中，可以求出AB，BE，再分别求出AF、AC、CF即可解决问题．

解答 （1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠FBC=90°．
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{AE=CF}\end{array}\right.$
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．

（2）解：∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠BAC=45°，
∵∠CAE=15°，
∴∠BAE=30°，又∵AE=2，
∴BE=1，AB=$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{6}$．
∵△ABE≌△CBF，
∴BF=BE=1，FC=AE=2，
∴AF=$\sqrt{3}$+1．
∴C_△ACF=AF+AC+FC=$\sqrt{3}$+1+$\sqrt{6}$+2=$\sqrt{3}$+$\sqrt{6}$+3．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．