Question

20．如图①，四边形ABCD为正方形，边长为10，点E为AB的中点，连接EC，点F为EC上一点，且$\frac{EF}{FC}$=$\frac{1}{4}$，连接DF、BF，以点F为顶点作∠DFG=90°，交BC于点G
（1）求证：△BEF∽△CEB；
（2）求线段FG的长度；
（3）如图②，将∠DFG绕点F逆时针旋转，旋转过程中∠DFG的边FD交AD于点Q，边FG交正方形ABCD的边于点P，设DQ=x（0＜x＜10，且x≠5），△FCP的面积为y，求y与x的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）先根据勾股定理求得CE的长，再根据$\frac{BE}{CE}$=$\frac{EF}{EB}$，∠FEB=∠BEC，判定△BEF∽△CEB即可；
（2）先过F作MN⊥BC于N，交AD于M，作FH⊥AB于H，根据平行线分线段成比例定理，求得DM、FM、FN的长，再根据△DMF∽△FNG，求得NG的长，最后根据勾股定理即可求得FG的长；
（3）分两种情况讨论：当0＜x＜5时，当5＜x＜8时，分别根据△QMF∽△FNP，求得NP=$\frac{24}{8-x}$，进而得到CP的长，最后计算△FCP的面积，即可得到y与x的函数解析式．而当8≤x＜10时，射线FG与BC无交点，故此时△CFP不存在．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为正方形，边长为10，点E为AB的中点，
∴EB=5，BC=10，
∴Rt△BCE中，CE=$\sqrt{{5}^{2}+1{0}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
∴$\frac{BE}{CE}$=$\frac{5}{5\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
又∵$\frac{EF}{FC}$=$\frac{1}{4}$，
∴EF=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{EF}{EB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{BE}{CE}$=$\frac{EF}{EB}$，
又∵∠FEB=∠BEC，
∴△BEF∽△CEB；

（2）如图①，过F作MN⊥BC于N，交AD于M，作FH⊥AB于H，则NM⊥AD，
∵HF∥BC，
∴$\frac{EH}{HB}$=$\frac{EF}{FC}$=$\frac{1}{4}$，
∴EH=1，HB=4=FN，
∴AH=MF=6，
∵FN∥AB，
∴$\frac{BN}{NC}$=$\frac{EF}{FC}$=$\frac{1}{4}$，
∴NB=2，NC=8=DM，
∵∠DFG=90°，∠DMF=90°，
∴∠MDF+∠MFD=90°=∠NFG+∠MFD，
∴∠MDF=∠NFG，
又∵∠DMF=∠FNG=90°，
∴△DMF∽△FNG，
∴$\frac{NG}{MF}$=$\frac{FN}{DM}$，
即$\frac{NG}{6}$=$\frac{4}{8}$，
解得NG=3，
∴Rt△FGN中，FG=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；

（3）如图②所示，当0＜x＜5时，MQ=8-x，
由（2）可得△QMF∽△FNP，
∴$\frac{NP}{MF}$=$\frac{NF}{MQ}$，
即$\frac{NP}{6}$=$\frac{4}{8-x}$，
解得NP=$\frac{24}{8-x}$，
∴CP=CN-NP=8-$\frac{24}{8-x}$，
∴△FCP的面积=$\frac{1}{2}$×CP×FN，
即y=$\frac{1}{2}$×（8-$\frac{24}{8-x}$）×4，
∴y=16-$\frac{48}{8-x}$（0＜x＜5）；
如图③所示，当5＜x＜8时，MQ=8-x，
由（2）可得△QMF∽△FNP，
∴$\frac{NP}{MF}$=$\frac{NF}{MQ}$，
即$\frac{NP}{6}$=$\frac{4}{8-x}$，
解得NP=$\frac{24}{8-x}$，
∴CP=NP-CN=$\frac{24}{8-x}$-8，
∴△FCP的面积=$\frac{1}{2}$×CP×FN，
即y=$\frac{1}{2}$×（$\frac{24}{8-x}$-8）×4，
∴y=$\frac{48}{8-x}$-16（5＜x＜8）；
当8≤x＜10时，射线FG与BC无交点，故此时△CFP不存在．
综上所述，y与x的函数解析式为：y=$\left\{\begin{array}{l}{16-\frac{48}{8-x}（0＜x＜5）}\\{\frac{48}{8-x}-16（5＜x＜8）}\end{array}\right.$．

点评 本题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及平行线分线段成比例定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造矩形和相似三角形．解题时注意分类思想的运用．