Question

已知关于x的方程x²-2x-k-1=0
（1）若这个方程有一个根为-1，求方程的另一根和k的值；
（2）若以方程x²-2x-k-1=0的两个实数根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y=

m

x

的图象上，求满足条件的m的最大值．

Answer 1

分析：（1）将-1代入方程，求出k的值，代入k求出另一个根．
（2）用求根公式求出两个根，根据m=xy，用k表示m，根据方程用两个解，根据判别式求出k的取值范围，从而求出m的最值．

解答：解：（1）将-1代入方程，整理得k-2=0，得 k=2．
方程为x²-2x-3=0，另一根为x=3；

（2）设方程x²-2x-k-1=0的两个根为x₁，x₂，则x_1，2=

2± 4k+8

2

=1±

k+2

根据题意得m=x₁x₂=（1+

k+2

）•（1-

k+2

）=-1-k．
（或由一元二次方程根与系数的关系得x₁x₂=-k-1），…（2分）
∵方程x²-2x-k-1=0有两个实数根，
∴△=（-2）²-4×（-k-1）≥0，
化简得 4k+8≥0，
解得k≥-2．
∴-k≤2．
∴-1-k≤1
∴m=x₁x₂=-1-k≤1．
∴m的最大值为1．

点评：本题考查一元二次方程的应用和反比例函数的综合题，关键熟记求根公式，判别式等知识点．