Question

（2013•张家港市二模）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在A′、D′处，且A′D′经过B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，

FD

FC

的值为（　　）

• A．

  3

  -1
• B．

  3

  +1
• C．2

  3

  -2
• D．2

  3

  -1

Answer 1

分析：延长FC、A′D′相交于点G，根据菱形的对角相等求出∠BCD=∠A=60°，根据翻折的性质可得∠A′D′F=∠D，再求出∠FD′G=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠G=30°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CBG=30°，从而得到∠CBG=∠G，根据等角对等边求出BC=CG，然后利用∠G的正切值列式整理即可得解．

解答：解：如图，延长FC、A′D′相交于点G，
∵菱形ABCD中，∠A=60°，
∴∠BCD=∠A=60°，∠D=180°-60°=120°，
由翻折的性质得，∠A′D′F=∠D=120°，FD′=FD，
∴∠FD′G=180°-∠A′D′F=180°-120°=60°，
∵D′F⊥CD，
∴∠G=90°-∠FD′G=90°-60°=30°，
∴∠CBG=∠BCD-∠G=60°-30°=30°，
∴∠CBG=∠G，
∴BC=CG，
在Rt△FD′G中，tan∠G=

FD′

FG

，
∵FG=FC+CG=FC+BC=FC+CD=FC+FD+FC=2FC+FD，
∴tan30°=

FD

2FC+FD

=

3

3

，
整理得，

FD

FC

=

2

3 -1

=

3

+1．
故选B．

点评：本题考查了翻折变换的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出等腰三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．