Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），直线OP位于一、三象限，∠AOP=45°（如图1），设点A关于直线OP的对称点为B．
（1）写出点B的坐标；
（2）过原点O的直线l从OP的位置开始，绕原点O顺时针旋转．
①如图1，当直线l顺时针旋转10°到l₁的位置时，点A关于直线l₁的对称点为C，则∠BOC的度数是______，线段OC的长为______；
②如图2，当直线l顺时针旋转55°到l₂的位置时，点A关于直线l₂的对称点为D，则∠BOD的度数是______；
③直线l顺时针旋转n°（0＜n≤90），在这个运动过程中，点A关于直线l的对称点所经过的路径长为______（用含n的代数式表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意画出图形，根据图形和A的坐标即可求出答案；
（2）①过A作AZ⊥直线l₁于Z，延长AZ到C，使AZ=ZC，则C为A关于直线l₁的对称点，根据轴对称性质求出∠AOC和得出OA=OC，推出∠BOC=2∠AOZ-90°，即可得出答案；②过A作AM⊥直线l₁于M，延长AM到D，使AM=MD，则D为A关于直线l₁的对称点，求出∠AOD，即可求出∠BOD；
（3）根据（2）中结果得出规律：当旋转n°时，∠BOM=2n°，根据弧长公式求出即可．
解答：（1）解：如图
A关于直线OP的对称点正好落在x轴上，
∵根据轴对称性质∴得出OA=OB=2，
∴B点的坐标是（2，0）；

（2）解：
①如图1，过A作AZ⊥直线l₁于Z，延长AZ到C，使AZ=ZC，则C为A关于直线l₁的对称点，
∵根据轴对称性质得出OA=OC=2，
∴∠AOZ=∠COZ=45°+10°=55°，
∴∠BOC=55°+55°-90°=20°，
故答案为：20°，2；

②解：如图2，过A作AM⊥直线l₂于M，延长AM到D，使AM=MD，则D为A关于直线l₂的对称点，
∵根据轴对称性质得出OA=OD，
∴∠AOM=∠DOM=180°-（45°+55°）=80°，
80°+80°-90°=70°，
∴∠BOD=180°-70°=110°，
故答案为：110°；

③解：直线l顺时针旋转n°（0＜n≤90），在这个运动过程中，点A关于直线l的对称点所经过的路径为以O为圆心，以2为半径的弧BQ（Q为A关于旋转n°后直线l₁的对称点），
圆心角∠BOQ=2（45°+n°）-90°=2n°，
由弧长公式得：=，
故答案为：．
点评：本题考查了旋转的性质，轴对称性质，弧长公式，坐标与图形性质等知识点，此题难度偏大，对学生提出较高的要求．