Question

二次函数y=x²+bx+c的图象如图所示，其顶点坐标为M（1，-4）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围．

Answer 1

（1）因为M（1，-4）是二次函数y=（x+m）²+k的顶点坐标，
所以y=（x-1）²-4=x²-2x-3，

（2）令x²-2x-3=0，
解之得：x₁=-1，x₂=3，
故A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3，0）．
如图，当直线y=x+n（n＜1），
经过A点时，可得n=1，
当直线y=x+n经过B点时，
可得n=-3，
∴n的取值范围为-3＜n＜1，
翻折后的二次函数解析式为二次函数y=-x²+2x+3
当直线y=x+n与二次函数y=-x²+2x+3的图象只有一个交点时，
x+n=-x²+2x+3，
整理得：x²-x+n-3=0，
△=b²-4ac=1-4（n-3）=13-4n=0，
解得：n=

13

4

，
∴n的取值范围为：n＞

13

4

，
由图可知，符合题意的n的取值范围为：n＞

13

4

或-3＜n＜1．