如图.在平面直角坐标系中.△AOB的边OA在x轴上.点B在第一象限.∠BAO=45°.AB=12$\sqrt{2}$.点A的坐标为．(1)求点B的坐标,(2)若D为线段OB的中点.E为y轴上一点.直线DE交AB于点C.交x轴于点F.其中OE=$\frac{7}{2}$.连接AD.求直线DE的解析式及四边形OACD的面积,(3)若点P是直角坐标平面上的一个动点.是否存在点P.使以A.D.P为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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13．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OA在x轴上，点B在第一象限，∠BAO=45°，AB=12$\sqrt{2}$，点A的坐标为（17，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）若D为线段OB的中点，E为y轴上一点，直线DE交AB于点C，交x轴于点F，其中OE=$\frac{7}{2}$，连接AD，求直线DE的解析式及四边形OACD的面积；
（3）若点P是直角坐标平面上的一个动点，是否存在点P，使以A、D、P为顶点的三角形是以AD为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）如图1中，作BI⊥OA于I．设OI=x，在Rt△ABI中，根据AB²=AI²+BI²，列出方程即可解决问题．
（2）先求出直线DE、AB的解析式，利用方程组求出点C坐标，再根据S_{四边形OACD}=S_△ACF-S_△ODF计算即可．
（3）如图2中，分四种情形①当△DAP₁是等腰直角三角形时，作P₁M⊥x轴于M，DN⊥OA于N，由△ADN≌△P₁AM得到，AM=DN=6，P₁M=AN=$\frac{29}{2}$，②当△ADP₂是等腰直角三角形时，③当△ADP₃是等腰直角三角形时，④当△ADP₄是等腰直角三角形时，分别求解即可．

解答解：（1）如图1中，作BI⊥OA于I．设OI=x，
∵∠BAO=45°，∠BIA=90°，A（17，0）
∴∠IAB=∠IBA=45°，
∴AI=BI=17-x，
在Rt△ABI中，∵AB²=AI²+BI²，
∴（12$\sqrt{2}$）²=（17-x）²+（17-x）²，
解得x=5或27（舍弃），
∴B（5，12）．

（2）如图1中，∵B（5，12），OD=DB，
∴D（$\frac{5}{2}$，6），∵E（0，$\frac{7}{2}$），
设直线DE的解析式为y=kx+b则有$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{7}{2}}\\{\frac{5}{2}k+b=6}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线DE的解析式为y=x+$\frac{7}{2}$，同法可得直线AB的解析式为y=-x+17，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+17}\\{y=x+\frac{7}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{27}{4}}\\{y=\frac{41}{4}}\end{array}\right.$，
∴交点C坐标（$\frac{27}{4}$，$\frac{41}{4}$），F（-$\frac{7}{2}$，0），
∴S_{四边形OACD}=S_△ACF-S_△ODF=$\frac{1}{2}$×$\frac{41}{2}$×$\frac{41}{4}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}$×6=$\frac{1513}{16}$．

（3）如图2中，
当△DAP₁是等腰直角三角形时，作P₁M⊥x轴于M，DN⊥OA于N．
∵D（$\frac{5}{2}$，6），A（17，0），
∴DN=6，AN=$\frac{29}{2}$，
由△ADN≌△P₁AM得到，AM=DN=6，P₁M=AN=$\frac{29}{2}$，
∴P₁（23，$\frac{29}{2}$），
当△ADP₂是等腰直角三角形时，
∵P₁与P₂关于点A对称，A（17，0），
∴P₂（11，-$\frac{29}{2}$），
当△ADP₃是等腰直角三角形时，
P₃可以可知P₁向上平移6个单位，向左平移$\frac{29}{2}$个单位得到，
∴P₃（$\frac{17}{2}$，$\frac{41}{2}$），
当△ADP₄是等腰直角三角形时，
P₄可以可知P₂向上平移6个单位，向左平移$\frac{29}{2}$个单位得到，
∴P₄（-$\frac{7}{2}$，-$\frac{17}{2}$）．

点评本题考查一次函数综合题、四边形面积问题、等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

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