Question

如图，⊙M的圆心在x轴上，与坐标轴交于A（0，

3

）、B（-1，0），抛物线y=-

3

3

x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求⊙M的半径；
（2）求抛物线的函数解析式，写出其顶点P的坐标，并判断点P与⊙M的位置关系（直接回答）．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）连接MA，设⊙O的半径为R，则OM=R-1，在Rt△AOM中，利用勾股定理得到R²=（R-1）²+（

3

）²，解得R=2，即⊙O的半径为2；
（2）把A（0，

3

）、B（-1，0）两点的坐标分别代入y=-

3

3

x2+bx+c可求出b与c的值，再利用配方法法求顶点坐标，然后比较P点到M的距离与半径的大小判断点P与⊙M的位置关系．

解答：解：（1）连接MA，如图，
∵A（0，

3

）、B（-1，0），
∴OA=

3

，OB=1，
设⊙O的半径为R，则OM=R-1，
在Rt△AOM中，
∵AM²=OM²+OA²，
∴R²=（R-1）²+（

3

）²，
解得R=2
∴⊙O的半径为2；

（2）把A（0，

3

）、B（-1，0）两点的坐标分别代入y=-

3

3

x2+bx+c得

c= 3 - 3 3 -b+c=0

，
解得

b= 2 3 3 c= 3

，
∴该抛物线的解析式为y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

，
∵y=-

3

3

（x-1）²+

4 3

3

，
∴顶点P的坐标为P（1，

4 3

3

）
∵MP=

4 3

3

＞2，
∴点P在⊙M外．

点评：本题考查了圆的综合题：掌握点与圆的位置关系的判定方法；会利用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质；能利用勾股定理进行计算．