【题目】建立模型:
如图1,已知△ABC,AC=BC,∠C=90°,顶点C在直线l上.
操作:
过点A作AD⊥l于点D,过点B作BE⊥l于点E.求证:△CAD≌△BCE.
模型应用:
(1)如图2,在直角坐标系中,直线l1:y=x+4与y轴交于点A,与x轴交于点B,将直线l1绕着点A顺时针旋转45°得到l2.求l2的函数表达式.
(2)如图3,在直角坐标系中,点B(8,6),作BA⊥y轴于点A,作BC⊥x轴于点C,P是线段BC上的一个动点,点Q(a,2a﹣6)位于第一象限内.问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形,若能,请求出此时a的值,若不能,请说明理由.
【答案】(1)y=x+4;(2)a的值为或4.
【解析】
试题分析:操作:根据余角的性质,可得∠ACD=∠CBE,根据全等三角形的判定,可得答案;
应用(1)根据自变量与函数值的对应关系,可得A、B点坐标,根据全等三角形的判定与性质,可得CD,BD的长,根据待定系数法,可得AC的解析式;
(2)根据全等三角形的性质,可得关于a的方程,根据解方程,可得答案.
解:操作:如图1:
,
∵∠ACD+∠BCE=90°,∠BCE+∠CBE=90°,
∴∠ACD=∠CBE.
在△ACD和△CBE中,
∴△CAD≌△BCE(AAS);
(1)∵直线y=x+4与y轴交于点A,与x轴交于点B,
∴A(0,4)、B(﹣3,0).
如图2:
,
过点B做BC⊥AB交直线l2于点C,过点C作CD⊥x轴
在△BDC和△AOB中,
,
△BDC≌△AOB(AAS),
∴CD=BO=3,BD=AO=4.OD=OB+BD=3+4=7,
∴C点坐标为(﹣7,3).
设l2的解析式为y=kx+b,将A,C点坐标代入,得
,
解得
l2的函数表达式为y=x+4;
(2)由题意可知,点Q是直线y=2x﹣6上一点.
如图3:
,
过点Q作EF⊥y轴,分别交y轴和直线BC于点E、F.
在△AQE和△QPF中,
,
∴△AQE≌△QPF(AAS),
AE=QF,即6﹣(2a﹣6)=8﹣a,
解得a=4
如图4:
,
过点Q作EF⊥y轴,分别交y轴和直线BC于点E、F,
AE=2a﹣12,FQ=8﹣a.
在△AQE和△QPF中,
,
△AQE≌△QPF(AAS),
AE=QF,即2a﹣12=8﹣a,
解得a=;
综上所述:A、P、Q可以构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形,a的值为或4.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(本题8分)如图,在五边形ABCDE中,∠BCD=∠EDC=90°,BC=ED,AC=AD.
(1)求证:△ABC≌△AED;
(2)当∠B=140°时,求∠BAE的度数.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标是(﹣4,0),点B的坐标是(0,b)(b>0).P是直线AB上的一个动点,作PC⊥x轴,垂足为C.记点P关于y轴的对称点为P′(点P′不在y轴上),连接PP′,P′A,P′C.设点P的横坐标为a.
(1)当b=3时, ①求直线AB的解析式;
②若点P′的坐标是(﹣1,m),求m的值;
(2)若点P在第一象限,记直线AB与P′C的交点为D.当P′D:DC=1:3时,求a的值;
(3)是否同时存在a,b,使△P′CA为等腰直角三角形?若存在,请求出所有满足要求的a,b的值;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】观察下列各式:定义一种新运算“⊙”:
1⊙3=1×4+3=7,3⊙﹣1=3×4﹣1=11,5⊙4=5×4+4=24
4⊙(﹣3)=4×4﹣3=13,(﹣2)⊙(﹣5)=(﹣2)×4﹣5=﹣13,……
(1)写出一般结论:a⊙b=_____;
(2)如果a≠b,那么a⊙b_____b⊙a(填“=”或“≠”)
(3)先化简,再求值:(a﹣b)⊙(2a+3b).其中a=﹣,b=2019.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于E,点F在AD上,且AF=AB,连接EF.
(1)判断四边形ABEF的形状并证明;
(2)若AE、BF相交于点O,且四边形ABEF的周长为20,BF=6,求AE的长度及四边形ABEF的面积.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】点O为直线AB上一点,将一直角三角板OMN的直角顶点放在点O处.射线OC平分∠MOB.
(1)如图1,若∠AOM=30°,求∠CON的度数;
(2)在图1中,若∠AOM=a,直接写出∠CON的度数(用含a的代数式表示);
(3)将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置,一边OM在射线OB上方,另一边ON在直线AB的下方.
①探究∠AOM和∠CON的度数之间的关系,写出你的结论,并说明理由;
②当∠AOC=3∠BON时,求∠AOM的度数.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】小敏从A地出发向B地行走,同时小聪从B地出发向A地行走,如图所示,相交于点P的两条线段l1、l2分别表示小敏、小聪离B地的距离y(km)与已用时间x(h)之间的关系,则小敏、小聪行走的速度分别是( )
A.3km/h和4km/h
B.3km/h和3km/h
C.4km/h和4km/h
D.4km/h和3km/h
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2,△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到,其中点A′与点A是对应点,点B′与点B是对应点,连接AB′,且A、B′、A′在同一条直线上,则AA′的长为( )
A. 6 B. 4 C. 3 D. 3
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在一自助夏令营活动中,小明同学从营地A出发,要到A地的北偏东60°方向的C处,他先沿正东方向走了200m到达B地,再沿北偏东30°方向走,恰能到达目的地C(如图),那么,由此可知,B、C两地相距 m.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com