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【题目】建立模型:

如图1,已知ABC,AC=BC,C=90°,顶点C在直线l上.

操作:

过点A作ADl于点D,过点B作BEl于点E.求证:CAD≌△BCE

模型应用:

(1)如图2,在直角坐标系中,直线l1:y=x+4与y轴交于点A,与x轴交于点B,将直线l1绕着点A顺时针旋转45°得到l2.求l2的函数表达式.

(2)如图3,在直角坐标系中,点B(8,6),作BAy轴于点A,作BCx轴于点C,P是线段BC上的一个动点,点Q(a,2a﹣6)位于第一象限内.问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形,若能,请求出此时a的值,若不能,请说明理由.

【答案】(1)y=x+4;(2)a的值为或4.

【解析】

试题分析:操作:根据余角的性质,可得ACD=CBE,根据全等三角形的判定,可得答案;

应用(1)根据自变量与函数值的对应关系,可得A、B点坐标,根据全等三角形的判定与性质,可得CD,BD的长,根据待定系数法,可得AC的解析式;

(2)根据全等三角形的性质,可得关于a的方程,根据解方程,可得答案.

解:操作:如图1:

∵∠ACD+BCE=90°BCE+CBE=90°

∴∠ACD=CBE

ACDCBE中,

∴△CAD≌△BCE(AAS);

(1)直线y=x+4与y轴交于点A,与x轴交于点B,

A(0,4)、B(﹣3,0).

如图2:

过点B做BCAB交直线l2于点C,过点C作CDx

BDCAOB中,

BDC≌△AOB(AAS),

CD=BO=3,BD=AO=4.OD=OB+BD=3+4=7,

C点坐标为(﹣7,3).

设l2的解析式为y=kx+b,将A,C点坐标代入,得

解得

l2的函数表达式为y=x+4;

(2)由题意可知,点Q是直线y=2x﹣6上一点.

如图3:

过点Q作EFy轴,分别交y轴和直线BC于点E、F.

AQEQPF中,

∴△AQE≌△QPF(AAS),

AE=QF,即6﹣(2a﹣6)=8﹣a,

解得a=4

如图4:

过点Q作EFy轴,分别交y轴和直线BC于点E、F,

AE=2a﹣12,FQ=8﹣a.

AQEQPF中,

AQE≌△QPF(AAS),

AE=QF,即2a﹣12=8﹣a,

解得a=

综上所述:A、P、Q可以构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形,a的值为或4.

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