如图所示，平面直角坐标系中，抛物线y=- $数学公式$ x²+ $数学公式$ x+4交y轴于A，分别交X轴的负半轴、正半轴于B、C两点，过点A作AD∥x轴交抛物线于点D，过点D作DE⊥x轴，垂足为点E．点M是四边形OADE的对角线的交点，点F在y轴负半轴上，且F（0，-2）．
（1）当点P、Q分别从C、F两点同时出发，均以每秒1个长度单位的速度沿CB、FA方向运动，点P运动到O时P、Q两点同时停止运动．设运动的时间为t秒．在运动过程中，以P、Q、O、M四点为顶点的四边形的面积为S，求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）在抛物线上是否存在点N，使以B、C、F、N为顶点的四边形是梯形？若存在，直接写出点N的坐标；不存在，说明理由．
（3）在运动过程中，当点P、Q分别从C、F两点同时出发，点P以每秒1个长度单位的速度沿CB方向运动，点Q以某一速度沿FA方向运动，当点P运动时间t=1.5时，∠PDQ=45°，求点Q的运动速度．

解：（1）∵抛物线的解析式为y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4，
∴抛物线与y轴于A，可求出A点的作标为：（0，4）、
∵交X轴的负半轴、正半轴于B、C两点，即0=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4，
解得：x=-2或6，
∴B（-2，0）、C（6，0），
把y=4代入y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4，
4=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4，
∴- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x=0，
解得：x=0或4，
∴OE=OA=4，
∴四边形OADE为正方形．连接MQ．
根据题意，可知OE=OA=4，OC=6OB=OF=2，
∴CE=2，
∴CO=FA=6，
∵运动的时间为t，
∴CP=FQ=t，
过M作MN⊥OE于N，则MN=2，
当0≤t＜2时，OP=6-t，OQ=2-t，
∴S=S_△OQM+S_△OPM= $\text{[math]}$ （6-t）×2+ $\text{[math]}$ （6-t）（2-t）= $\text{[math]}$ （6-t）（4-t），
∴S= $\text{[math]}$ t=t²-5t+12．
当t=2时，Q与O重合，点M、O、P、Q不能构成四边形，
当2＜t＜6时，连接MO，ME则MO=ME且∠QOM=∠PEM=45°，
∵FQ=CP=t，FO=CE=2，
∴OQ=EP，
∴△QOM≌△PEM，
∴四边形OPMQ的面积S=S_△MOE= $\text{[math]}$ ×4×2=4，
综上所述，当0≤t＜2时，S= $\text{[math]}$ t²-5t+12；当2＜t＜6时，S=4．

（2）分三种情况：
①以BF为底边时，经过点C作BF的平行线，与抛物线交于点N的坐标为（1，5）；
②以CF为底边时，经过点B作CF的平行线，与抛物线交于点N的坐标为（5， $\text{[math]}$ ）；
③以BC为底边时，经过点F作BC的平行线，与抛物线交于点N的坐标为（2+ $\text{[math]}$ ，-2）或（2- $\text{[math]}$ ，-2）．
故在抛物线上存在点N₁（1，5），N₂（5， $\text{[math]}$ ），N₃（2+ $\text{[math]}$ ，-2），N₄（2- $\text{[math]}$ ，-2），
使以B、C、F、N为顶点的四边形是梯形；

（3）连接PO并延长，做QW⊥DO与一点W，连接PD，
∵点P运动时间t=1.5时，∠PDQ=45°，∠ODE=45°，
∴∠ODF=∠EDP，∠DEP=∠QWD=90°，

∴△QWD∽△PED，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵OD=4 $\text{[math]}$ ，WQ=WO，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得：WQ= $\text{[math]}$ ，
∵WQ=WO，∠QWD=90°，
∴利用勾股定理解得：OF= $\text{[math]}$ ，
∴FQ=2- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，此时Q运动了1.5秒， $\text{[math]}$ ÷1.5= $\text{[math]}$ ，
∴点Q的运动速度是每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度．
分析：（1）由抛物线y=ax²+bx+c交y轴于A，分别交X轴的负半轴、正半轴于B、C两点，可以求出A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0）三点，进而判断出四边形OADE为正方形，过M作MN⊥OE于N，则MN=2，由题意可知CP=FQ=t，当0≤t＜2时，OP=6-t，OQ=2-t，列出S与t的关系式，当t=2时，Q与O重合，点M、O、P、Q不能构成四边形，当2＜t＜6时，连接MO，ME则MO=ME且∠QOM=∠PEM=45°，可证三角形全等，进而计算出三角形面积；
（2）若B、C、F、N为顶点的四边形是梯形，则四边形有两边平行，设出N点的坐标，分类讨论两边平行时N点坐标满足的条件，进而求出N点坐标；
（3）首先连接PO并延长，做QW⊥DO与一点W，连接PD，证明△QWD∽△PED，从而得出WQ= $\text{[math]}$ ，利用勾股定理解得：OF= $\text{[math]}$ ，进而求出点Q的运动速度．
点评：此题主要考查了二次函数与坐标轴交点的求法，以及梯形的判定方法和相似三角形的判定等知识，学会运用分别类讨论思想，此题有一定的难度，做题时不能粗心大意．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>