Question

已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是

ABC

的中点，弦DE⊥AB于点F，DE交AC于点G．
（1）如图1，求证：∠BAC=∠OED；
（2）如图2，过点E作⊙O的切线交AC的延长线于点H．若AF=3，FB=

4

3

，求cos∠DEH的值．

Answer 1

考点：切线的性质,圆周角定理,解直角三角形

专题：证明题

分析：（1）连接DO并延长交AC于M点，如图1，根据垂径定理的推理由点D是

ABC

的中点得OM⊥AC，则∠AMO=90°，再由DE⊥AB得到∠OFD=90°，根据三角形内角和定理得到∠A=∠D，而∠OED=∠D，所以∠BAC=∠OED；
（2）连接OE，如图2，根据切线的性质得OE⊥EH，则∠OEF+∠DEH=90°，而∠OEF+∠FOE=90°，根据等角的余角相等得∠FOE=∠DEH，再根据AF=3，FB=

4

3

可计算出直径AB=

13

3

，则半径OB=

1

2

AB=

13

6

，OF=

5

6

，在Rt△OEF中，根据余弦的定义得cos∠FOE=

OF

OE

=

5

13

，于是得到cos∠DEH=

5

13

．

解答：（1）证明：连接DO并延长交AC于M点，如图1，
∵点D是

ABC

的中点，
∴OM⊥AC，
∴∠AMO=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠OFD=90°，
而∠AOM=∠DOF，
∴∠A=∠D，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠D，
∴∠BAC=∠OED；
（2）解：连接OE，如图2，
∵EH为⊙O的切线，
∴OE⊥EH，
∴∠OEF+∠DEH=90°，
而∠OEF+∠FOE=90°，
∴∠FOE=∠DEH，
∵AF=3，FB=

4

3

，
∴AB=AF+BF=

13

3

，
∴OB=

1

2

AB=

13

6

，
∴OF=OB-FB=

5

6

，
在Rt△OEF中，OE=

13

6

cos∠FOE=

OF

OE

=

5 6

13 6

=

5

13

，
∴cos∠DEH=

5

13

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和解直角三角形．