Question

若a是自然数，且a⁴-4a³+15a²-30a+27的值是个质数，求这个质数．

Answer 1

考点：质数与合数

专题：

分析：首先分解因式，进而利用质数的定义得出|a²-a+9|=1且|a²-3a+3|为质数（1）或|a²-3a+3|=1且|a²-a+9|为质数（2）；进而求出即可．

解答：解：a⁴-4a³+15a²-30a+27=（a²-a+9）（a²-3a+3）
则|a²-a+9|=1且|a²-3a+3|为质数（1）；
或|a²-3a+3|=1且|a²-a+9|为质数（2）；
（1）无自然数解
由（2）得：a₁=1（不合题意舍去），a₂=2，
综上所述：a=2，
故a⁴-4a³+15a²-30a+27=1×（2²-2+9）=11，
即这个质数为11．

点评：此题主要考查了质数的定义以及因式分解，正确利用质数的定义得出是解题关键．