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7.y=ax2+bx+c+2的图象如图所示,顶点为(-1,0),下列结论
①abc>0;②b2-4ac=0;③a>2;④4a-2b+c>0.
其中正确结论的个数是(  )
A.1B.2C.3D.4

分析 ①首先根据抛物线开口向上,可得a>0;然后根据对称轴在y轴左边,可得b>0;最后根据抛物线与y轴的交点在x轴的上方,可得c>0,据此判断出abc>0即可.
②根据二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点,可得△=0,即b2-4a(c+2)=0,b2-4ac=8a>0,据此解答即可.
③首先根据对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=-1,可得b=2a,然后根据b2-4ac=8a,确定出a的取值范围即可.
④根据对称轴是x=-1,而且x=0时,y>2,可得x=-2时,y>2,据此判断即可.

解答 解:∵抛物线开口向上,
∴a>0,
∵对称轴在y轴左边,
∴b>0,
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方,
∴c+2>2,
∴c>0,
∴abc>0,
∴结论①正确;

∵二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点,
∴△=0,
即b2-4a(c+2)=0,
∴b2-4ac=8a>0,
∴结论②不正确;

∵对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=-1,
∴b=2a,
∵b2-4ac=8a,
∴4a2-4ac=8a,
∴a=c+2,
∵c>0,
∴a>2,
∴结论③正确;

∵对称轴是x=-1,而且x=0时,y>2,
∴x=-2时,y>2,
∴4a-2b+c+2>2,
∴4a-2b+c>0.
∴结论④正确.
综上,可得
正确结论的个数是3个:①③④.
故选C.

点评 本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系,解答此题的关键是要明确:①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:左同右异)③常数项c决定抛物线与y轴交点. 抛物线与y轴交于(0,c).

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