Question

17．如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，按题目所给条件及要求将相应的直角三角形，分割成若干个全等的并且分别与原三角形相似的三角形．画出图形并简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用斜边上的中线，将三角形分割成两个全等的等腰直角三角形，都与原等腰直角三角形相似；
（2）过AB的中点E作AB的垂直平分线，交BC于D，则分割成的3个全等的直角三角形ACD，ADE，DEB都与原直角三角形相似，因为它们除直角外，还有一个锐角都是30°；
（3）过AB的中点分别作AC和BC的垂线，得到的4个直角三角形都与原直角三角形相似；
（4）作高CD，利用BC的中点E，分别作CD、BD的垂线即可．

解答 解：（1）如图1，取斜边AB中点D连接CD，∵AC=BC，
∴CD⊥AB，
∴等腰直角三角形ACD和CDB全等，且都与三角形ABC相似；

（2）如图2，作∠CAB的平分线交BC于D，作DE⊥AB于E，
∵AB=2AC，∠C=90°，
∴∠B=30°=∠CAD=∠DAB，
∴可证△ACD≌△AED≌△BED，且都与△ABC相似；

（3）如图3，取斜边AB的中点D，连接CD，则CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，
作DE⊥AC，DF⊥BC，可证△AED≌△CED≌△CFD≌△BFD，且都与△ABC相似；

（4）如图4，作CD⊥AB于D，取BC中点E，作EG⊥CD于G，EF⊥BD于F，
∴∠EGD=∠GDF=∠EFD=90°，
∴四边形DGEF是矩形，又BE=EC=AC=DE，
进而可证△ADC≌△DGE≌△EFD≌△CGE≌△EFB，且都与△ABC相似．

点评 本题一方面考查了学生的动手操作能力，另一方面考查了学生的空间想象能力，重视知识的发生过程，让学生体验学习的过程，进一步加深了对全等三角形判定的运用．