Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+4与x轴的一个交点为A（﹣2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；

（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+4交x轴于A（﹣2，0），

∴0=4a﹣2b+4，

∵对称轴是x=3，

∴﹣=3，即6a+b=0，

两关于a、b的方程联立解得 a=﹣，b=，

∴抛物线为y=﹣x²+x+4．

（2）∵四边形为平行四边形，且BC∥MN，

∴BC=MN．

①N点在M点右下方，即M向下平移4个单位，向右平移2个单位与N重合．

设M（x，﹣x²+x+4），则N（x+2，﹣x²+x），

∵N在x轴上，

∴﹣x²+x=0，

解得 x=0（M与C重合，舍去），或x=6，

∴x_M=6，

∴M（6，4）．

②M点在N右下方，即N向下平行4个单位，向右2个单位与M重合．

设M（x，﹣x²+x+4），则N（x﹣2，﹣x²+x+8），

∵N在x轴上，

∴﹣x²+x+8=0，

解得 x=3﹣，或x=3+，

∴x_M=3﹣，或3+．

∴M（3﹣，﹣4）或（3+，﹣4）

综上所述，M的坐标为（6，4）或（3﹣，﹣4）或（3+，﹣4）．

（3）∵OC=4，OB=3，

∴BC=5．

如果△PBD≌△PBC，那么BD=BC=5，

∵D在x轴上，

∴D为（﹣2，0）或（8，0）．

①当D为（﹣2，0）时，连接CD，过B作直线BE平分∠DBC交CD于E，交抛物线于P₁，P₂，

此时△P₁BC≌△P₁BD，△P₂BC≌△P₂BD，

∵BC=BD，

∴E为CD的中点，即E（﹣1，2），

设过E（﹣1，2），B（3，0）的直线为y=kx+b，则 ，

解得 ，

∴BE：y=﹣x+．

设P（x，y），则有，

解得 ，或，

则P₁（4+，），P₂（4﹣，）．

②当D为（8，0）时，连接CD，过B作直线BF平分∠DBC交CD于F，交抛物线于P₃，P₄，

此时△P₃BC≌△P₃BD，△P₄BC≌△P₄BD，

∵BC=BD，

∴F为CD的中点，即E（4，2），

设过E（4，2），B（3，0）的直线为y=kx+b，则，

解得 ，

∴BF：y=2x﹣6．

设P（x，y），则有，

解得 或 ，

则P₃（﹣1+，﹣8+2），P₄（﹣1﹣，﹣8﹣2）．

综上所述，点P的坐标为（4+，）或（4﹣，）或（﹣1+，﹣8+2）或（﹣1﹣，﹣8﹣2）．