Question

【题目】如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE；

（1）试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由．

（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）四边形BECF是菱形．证明见解析；（2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．证明见解析.

【解析】

（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC，又因为CF＝AE，可通过求证EC=AE得BE＝EC＝BF＝FC，根据四边相等的四边形是菱形，证明四边形BECF是菱形；

（2）当∠A＝45°时，可得∠EBF＝90°，即可得到菱形BECF是正方形．

（1）四边形BECF是菱形．

证明：如图，∵BC的垂直平分线为EF，

∴BF=FC，BE=EC，

∴∠1=∠3，

∵∠ACB=90°，

∴∠1+∠2=90°，∠3+∠A=90°，

∴∠2=∠A，

∴EC=AE，

又∵CF=AE，BE=EC

∴BE=EC=CF=BF，

∴四边形BECF是菱形；

（2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．

证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠3=45°，
∴∠EBF=2∠3=90°，
∴菱形BECF是正方形．