【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2,点D、E分别在边AC、AB上,AD=DE=AB,连接DE.将△ADE绕点A逆时针方向旋转,记旋转角为θ.
(1)问题发现
①当θ=0°时,= ;
②当θ=180°时,= .
(2)拓展探究
试判断:当0°≤θ<360°时,的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明;
(3)问题解决
①在旋转过程中,BE的最大值为 ;
②当△ADE旋转至B、D、E三点共线时,线段CD的长为 .
【答案】(1)①;(2)详见解析;(3)①2+2 +1或﹣1.
【解析】分析:(1)①先判断出DE∥CB,进而得出比例式,代值即可得出结论;
②先得出DE∥BC,即可得出,,再用比例的性质即可得出结论;
(2)先∠CAD=∠BAE,进而判断出△ADC∽△AEB即可得出结论;
(3)分点D在BE的延长线上和点D在BE上,先利用勾股定理求出BD,再借助(2)结论即可得出CD.
详解:(1)①当θ=0°时,
在Rt△ABC中,AC=BC=2,
∴∠A=∠B=45°,AB=2,
∵AD=DE=AB=,
∴∠AED=∠A=45°,
∴∠ADE=90°,
∴DE∥CB,
∴,
∴,
∴,
故答案为:,
②当θ=180°时,如图1,
∵DE∥BC,
∴,
∴,
即:,
∴,
故答案为:;
(2)当0°≤θ<360°时,的大小没有变化,
理由:∵∠CAB=∠DAE,
∴∠CAD=∠BAE,
∵,
∴△ADC∽△AEB,
∴;
(3)①当点E在BA的延长线时,BE最大,
在Rt△ADE中,AE=AD=2,
∴BE最大=AB+AE=2+2;
②如图2,
当点E在BD上时,
∵∠ADE=90°,
∴∠ADB=90°,
在Rt△ADB中,AB=2,AD=,根据勾股定理得,BD==,
∴BE=BD+DE=+,
由(2)知,,
∴CD=+1,
如图3,
当点D在BE的延长线上时,
在Rt△ADB中,AD=,AB=2,根据勾股定理得,BD==,
∴BE=BD﹣DE=﹣,
由(2)知,,
∴CD=﹣1.
故答案为: +1或﹣1.
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【题目】用两个全等的等边△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合,使三角尺60°角的项点与点A重合,两边分别与AB、AC重合,将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时(如图),通过观察或测量BE、CF的长度,你能得出什么结论?并证明你的结论.
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【题目】小华是一位善于思考的学生,在一次数学活动课上,他将一副直角三角板如图位置摆放,A,B,D在同一直线上,EF∥AD,∠CAB=∠EDF=90°,∠C=45°,∠E=60°,量得DE=2.则BD=_____.
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【题目】阅读下列材料,解决问题:
我们把一个能被17整除的自然数称为“节俭数”,“节俭数”的特征是:若把一个自然数的个位数字截去,再把剩下的数减去截去的那个个位数字的5倍,如果差是17的整数倍(包括0),则原数能被17整除.如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数,就继续上述的“截尾、倍大、相减、验差”的过程,直到能清楚判断为止.
例如:判断1675282是不是“节俭数”.判断过程:167528﹣2×5=167518,16751﹣8×5=16711,1671﹣1×5=1666,166﹣6×5=136,到这里如果你仍然观察不出来,就继续13﹣6×5=﹣17,﹣17是17的整数倍,所以1675282能被17整除.所以1675282是“节俭数”.
(1)请用上述方法判断7259和2098752 是否是“节俭数”,并说明理由;
(2)一个五位节俭数,其中个位上的数字为b,十位上的数字为a,请求出这个数.
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【题目】下列结论中,错误的有( )
①在Rt△ABC中,已知两边长分别为3和4,则第三边的长为5;
②△ABC的三边长分别为AB,BC,AC,若+=,则∠A=90°;
③在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=1:5:6,则△ABC是直角三角形;
④若三角形的三边长之比为3:4:5,则该三角形是直角三角形.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
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【题目】如图,已知在△ABC中,CE是外角∠ACD的平分线,BE是∠ABC的平分线.
(1)求证:∠A=2∠E,以下是小明的证明过程,请在括号里填写理由.
证明:∵∠ACD是△ABC的一个外角,∠2是△BCE的一个外角,(已知)
∴∠ACD=∠ABC+∠A,∠2=∠1+∠E(_________)
∴∠A=∠ACD﹣∠ABC,∠E=∠2﹣∠1(等式的性质)
∵CE是外角∠ACD的平分线,BE是∠ABC的平分线(已知)
∴∠ACD=2∠2,∠ABC=2∠1(_______)
∴∠A=2∠2﹣2∠1(_________)
=2(∠2﹣∠1)(_________)
=2∠E(等量代换)
(2)如果∠A=∠ABC,求证:CE∥AB.
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【题目】已知:如图,BD为△ABC的角平分线,且BD=BC,E为BD延长线上的一点,BE=BA,过E作EF⊥AB,F为垂足.下列结论:①△ABD≌△EBC;②∠BCE+∠BCD=180°;③AD=AE=EC;④BA+BC=2BF;其中正确的是( )
A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④
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【题目】已知反比例函数的图象经过P(-2·3).
(1)求此反比例函数的解析式;
(2)点A(2.-3)、B(3,2)是否在这个函数的图象上?
(3)这个函数的图象位于哪些象限?函数值y随自变量x的减小如何变化?
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【题目】如图,点B、C、D都在⊙O上,过点C作AC∥BD交OB延长线于点A,连接CD,且∠CDB=∠OBD=30°,DB=cm.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积.(结果保留π)
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