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19.如图,点P在反比例函数y=$\frac{3}{x}$(x>0)的图象上,PN⊥PM,M为y轴负半轴上的一点,N为x轴上的点,且PM=PN,则ON-OM的值为2$\sqrt{3}$.

分析 过P分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为A、B,由条件可证明△PAN≌△PBM,可得到PA=PB,可证明四边形PAOB为正方形,可求得P点坐标,又由全等可得OM=AN,可求得ON-OM的值.

解答 解:
如图,过P分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为A、B,设PM交x轴于点C,
∴∠PAN=∠PBM=90°,四边形PAOB为矩形,
∵PM⊥PN,
∴∠PCN+∠PNA=∠OCM+∠OMC=90°,
∵∠PCN=∠OCM,
∴∠PNA=∠PMB,
在△PAN和△PBM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAN=∠PBM}\\{∠PNA=∠PMB}\\{PN=PM}\end{array}\right.$
∴△PAN≌△PBM(AAS),
∴PB=PA,BM=AN,
∴矩形PAOB为正方形,
可设P点坐标为(x,x),代入反比例函数解析式可得x2=3,解得x=$\sqrt{3}$或x=-$\sqrt{3}$(舍去),
∴BO=OA=$\sqrt{3}$,
∴ON-OM=OA+AN-OM=OA+BM-OM=OA+OB=2$\sqrt{3}$,
故答案为:2$\sqrt{3}$.

点评 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征,由条件求得P点坐标是解题的关键.

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