Question

已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图1放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=m°，AC=DF=4，BC=EF=7．若纸片DEF不动．

（1）在图1中，连接AE，则直角梯形ACFE的腰长CF=

 

、AE=

 

；
（2）将△ABC作平移或旋转或轴对称变换后，使得△ABC与△DEF组合成矩形．在备用图1中画出△ABC每一次变换后的图形，若是平移，请写出平移的方向与距离；若是旋转，请写出旋转中心与旋转角度；若是轴对称，要指明它的对称轴；
（3）在图1中，将△ABC绕点F逆时针旋转，当旋转角∠BFD（0°＜∠BFD＜180°）为多少度时，直角三角形ABC的直角边与DE平行，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接AE，作AH⊥FE于H，构造直角三角形EAH，利用勾股定理解答；
（2）将△ABC以点B为旋转中心顺时针旋转360°-m°，再以点B为旋转中心，使点C与点C′重合；
（3）根据直角三角形的性质及平行线的判定解答．

解答：解：（1）根据题意，梯形ACFE中，CF=BC-FB=7-4=3；
作AH⊥FB与H，
则AH=CF=3，HE=FE-AC=7-4=3，
在Rt△AHE中，AE=

AH2+HE2

=

32+32

=3

2

．
故答案为：3，3

2

；

（2）将△ABC以BC为对称轴，作轴对称变换，然后以点B为旋转中心，顺时针旋转，使点A与点E重合即可；

（3）由图可知，旋转角∠BFD与∠B′是同位角，当∠BFD=∠B′=（90-m）度时，两直线平行．

点评：此题主要考查了旋转的性质，同时涉及勾股定理、平行线的判定、旋转等内容，综合性较强．