Question

1．如图，二次函数y=$\frac{4}{3}$x²+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（-1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．
（4）在AC段的抛物线上有一点R，过点R作平行于y轴的直线交AC于M，当线段RM的长为最大时，请直接写出点R的坐标．

Answer 1

分析 （1）将A，B点坐标代入函数y=$\frac{4}{3}$x²+bx+c中，求得b、c，进而可求解析式及C坐标；
（2）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其它边后利用勾股定理易得E坐标；
（3）注意到P，Q运动速度相同，则△APQ运动时都为等腰三角形，又由A、D对称，则AP=DP，AQ=DQ，易得四边形四边都相等，即菱形．利用菱形对边平行且相等的性质可用t表示D点坐标，又D在E函数上，所以代入即可求t，进而D可表示；
（4）求出直线AC的解析式y_AC=$\frac{4}{3}x-4$，W=y_AC-y=$\frac{4}{3}x-4$-（$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-4）=-$\frac{4}{3}$x²+4x，求出对称轴x=$\frac{3}{2}$，代入y=$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-4=-5，所以R（$\frac{3}{2}$，-5）．

解答 解：（1）∵二次函数y=$\frac{4}{3}$x²+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{3}×9+3b+c=0}\\{\frac{4}{3}×1-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{8}{3}}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-4，
∴C（0，-4）．
（2）存在．
如图1，过点Q作QD⊥OA于D，此时QD∥OC
∵A（3，0），B（-1，0），C（0，-4），O（0，0）
∴AB=4，OA=3，OC=4，
∴AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，AQ=4．
∵QD∥OC，
∴$\frac{QD}{OC}=\frac{AD}{AO}=\frac{AQ}{AC}$，
∴$\frac{QD}{4}=\frac{AD}{3}=\frac{4}{5}$，
∴QD=$\frac{16}{5}$，AD=$\frac{12}{5}$．
①作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即△AEQ为等腰三角形
设AE=x，则EQ=x，DE=AD-AE=$\frac{12}{5}$-x，
∴在Rt△EDQ中，（$\frac{12}{5}$-x）²+（$\frac{16}{5}$）²=x²，解得 x=$\frac{10}{3}$，
∴OA-AE=3-$\frac{10}{3}$=-$\frac{1}{3}$，
∴E（-$\frac{1}{3}$，0）．
②以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE=QA=4，
∵ED=AD=$\frac{12}{5}$，
∴AE=$\frac{24}{5}$，
∴OA-AE=3-$\frac{24}{5}$=-$\frac{9}{5}$，
∴E（-$\frac{9}{5}$，0）．
③当AE=AQ=4时，
∵OA-AE=3-4=-1，或OA+AE=7
∴E（-1，0）或（7，0）．
综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（-$\frac{1}{3}$，0）或（-$\frac{9}{5}$，0）或（-1，0）或（7，0）．
（3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为（-$\frac{5}{8}$，-$\frac{29}{16}$）．理由如下：
如图3，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQ⊥AP于F，
∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ
∴AP=AQ=QD=DP，
∴四边形AQDP为菱形，
∵FQ∥OC，
∴$\frac{AF}{AO}=\frac{FQ}{OC}=\frac{AQ}{AC}$，
∴$\frac{AF}{3}=\frac{FQ}{4}=\frac{t}{5}$
∴AF=$\frac{3}{5}t$，FQ=$\frac{4}{5}t$•
∴Q（3-$\frac{3}{5}t$，-$\frac{4}{5}t$），
∵DQ=AP=t，5
∴D（3-$\frac{3}{5}t$-t，-$\frac{4}{5}t$），
∵D在二次函数y=$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-4上，
∴-$\frac{4}{5}t$=$\frac{4}{3}$（3-$\frac{8}{5}$t）²-$\frac{8}{3}$（3-$\frac{8}{5}$t）-4，
∴t=$\frac{145}{64}$，或t=0（与A重合，舍去），
∴D（-$\frac{5}{8}$，-$\frac{29}{16}$）．
（4）R（$\frac{3}{2}$，-5）．
∵A（3，0），C（0，-4），
∴y_AC=$\frac{4}{3}x-4$，
设RM=W，
则W=y_AC-y=$\frac{4}{3}x-4$-（$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-4）=-$\frac{4}{3}$x²+4x，
对称轴为：x=$\frac{3}{2}$，
把x=$\frac{3}{2}$代入y=$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-4=-5，
所以R（$\frac{3}{2}$，-5）．

点评 本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识，总体来说题意复杂但解答内容都很基础，是一道值得练习的题目，熟练地运用数形结合是解决问题的关键．