Question

16．综合与实践：折纸中的数学
问题情境：数学活动课上，老师让同学们折叠正方形纸片ABCD进行探究活动，兴趣小组的同学经过动手操作探究，提出了如下两个问题：
问题1：如图（1），若点E为BC的中点，设AE将正方形纸片ABCD折叠，点B的对应点为B′，连接B′C，求证：B′C∥AE．
问题2：如图（2），若点E，点F分别为边BC，边AD的中点，沿AE、CF将正方形纸片ABCD折叠，点B的对应点为B′，点D的对应点D′，D′F与AB′交于点H，B′E与CD′交于点G，求证：四边形D′GB′H为矩形．
（1）解决问题：请你对兴趣小组提出的两个问题进行证明．
（2）拓展探究：解决完兴趣小组提出的两个问题后，实践小组的同学们进行如下实践操作：
如图（3），点E，点F分别为BC、AD上的点，将正方形纸片沿AE、CF折叠，使得点B落在对角线上的点B′处，点D落在对角线AC上的点D′处，AE与对角线BD的交点为M，CF与对角线BD的交点为N，分别连接MB′，B′N，D′N，D′M．他们认为四边形MB′ND′为正方形．
实践小组的同学们发现的结论是否正确？请你说明理由．

Answer 1

分析 （1）问题1：欲证明B′C∥AE，只要证明∠AEB′=∠EB′C即可；
问题2：根据三个角是直角的四边形是矩形即可判断；
（2）利用全等三角形的性质只要证明OM=OB′=ON=OD′，NM⊥B′D′即可．

解答 （1）问题1：证明：如图1中，

∵△ABE和△AB′E关于AE对称，
∴∠AEB=∠AEB′，BE=B′E，
∵BE=EC，
∴B′E=EC，
∴∠EB′C=∠ECB′，
∵∠BEB′=∠EB′C+∠ECB′，
∴∠AEB=∠B′CE，
∴AE∥B′C，

问题2：证明：如图2中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF，
∴∠BAE=∠DCF，
∵∠BAE=∠B′AE，∠DCF=∠D′CF，
∴∠BAB′=∠DCD′，
∵∠D=∠D′=90°，
∴∠D′FD+∠D′CD=180°，
∵∠AFD′+∠D′FD=180°，
∴∠AFD′=∠D′CD=∠BAB′，
∵∠B′AD+∠BAB′=90°，
∴∠AFD′+∠B′AF=90°，
∴∠AHF=∠B′HD′=90°，
∴四边形D′DB′H是矩形．

（2）拓展探究：实践小组的同学们发现的结论是正确的．
证明：如图3中，连接BB′、DD′，则BB′⊥AE，DD′⊥CF．

∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB=OC=OD，AC⊥BD，
∴∠MAO+∠AMO=90°，∠OBB′+∠BME=90°，
∵∠AMO=∠BME，
∴∠MAO=∠OB′B，
∴△AMO≌△BB′O，
∴OM=OB′，同理ON=OD′，
∵∠BAM=∠DCN，∠ABM=∠CDN，AB=CD，
∴△BAM≌△DCN，
∴MB=DN．
∴OM=ON，
∴OM=OB′=ON=OD′，
∴四边形MB′ND′是矩形，
∴AC⊥BD，
∴四边形MB′ND′是正方形．

点评 本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、正方形的性质和判定、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．