Question

10．已知二次函数y=x²+（4k+1）x+2k-1．
（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）若（x₁，0），（x₂，0）为抛物线与x轴的两个交点，且（x₁-2）（x₂-2）=2k-3，求k的值．

Answer 1

分析 （1）证明判别式△＞0即可证得；
（2）首先求得x₁+x₂和x₁x₂，然后代入（x₁-2）（x₂-2）=2k-3，即可得到一个关于k的方程，求得k的值．

解答 （1）证明：a=1，b=4k+1，c=2k-1，
则△=b²-4ac=（4k+1）²-4（2k-1）=16k²+8k+1-8k+8=16k²+9，
∵16k²≥0，
∴△＞0，
∴该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）解：x₁+x₂=-（4k+1），x₁x₂=2k-1，
∵（x₁-2）（x₂-2）=2k-3，
∴x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=2k-3，
∴2k-1+2（4k+1）+4=2k-3，
解得：k=-1．

点评 本题考查了二次函数与x轴的交点，可以通过判别式△的符号判断抛物线与x轴的交点个数，当△＞0时，抛物线与x轴有两个不同交点，当△=0时，有一个交点，即顶点在x轴上，当△＜0，抛物线与x轴没有交点．