Question

如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，阅读下列材料，
（1）连接AC、BD，由三角形中位线的性质定理可证四边形EFGH是

 

；
（2）对角线AC、BD满足条件

 

时，四边形EFGH是矩形；
（3）对角线AC、BD满足条件

 

时，四边形EFGH是菱形；
（4）对角线AC、BD满足条件

 

时，四边形EFGH是正方形．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的中位线定理，可以证明所得四边形的两组对边分别和两条对角线平行，所得四边形的两组对边分别是两条对角线的一半，再根据平行四边形的判定就可证明该四边形是一个平行四边形；
（2）在（1）的基础上，所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满足互相垂直；
（3）在（1）的基础上，所得四边形要成为菱形，则需有一组邻边相等，故对角线应满足相等；
（4）联立（2）和（3），所得四边形要成为正方形，则需对角线垂直且相等．

解答：解：（1）连接AC、BD．
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，
∴EF∥AC，EF=

1

2

AC，FG∥BD，FG=

1

2

BD，GH∥AC，GH=

1

2

AC，EH∥BD，EH=

1

2

BD．
∴EF∥HG，EF=GH，FG∥EH，FG=EH．
∴四边形EFGH是平行四边形；

（2）要使四边形EFGH是矩形，则需EF⊥FG，由（1）得，只需AC⊥BD；

（3）要使四边形EFGH是菱形，则需EF=FG，由（1）得，只需AC=BD；

（4）要使四边形EFGH是正方形，综合（2）和（3），则需AC⊥BD且AC=BD．

点评：此题主要是对三角形的中位线定理的运用．
同时熟记此题中的结论：
顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；
顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；
顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形；
顺次连接对角线垂直且相等的四边形各边中点所得四边形是正方形．