Question

14．如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，且DG平分△ABC的周长，设BC=a、AC=b，AB=c．
（1）求线段BG的长；
（2）求证：DG平分∠EDF；
（3）连接CG，如图2，若△GBD∽△GDF，求证：BG⊥CG．

Answer 1

分析 （1）由DG平分三角形ABC周长，得到三角形BDG周长与四边形ACDG周长相等，再由D为BC中点，得到BD=CD，利用等式的性质得到BG=AC+AG，表示出BG的长即可；
（2）由D、F分别为BC、AB的中点，表示出DF与BF，由BG=BF表示出FG，得到DF=FG，利用等边对等角得到一对角相等，再由DE为三角形中位线，得到DE与AB平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换即可得证；
（3）由△GBD∽△GDF，且一对公共角相等，得到∠B=∠FDG，由（2）得：∠FGD=∠FDG，等量代换得到∠FGD=∠B，利用等角对等边得到BD=DG，再由BD=DC，等量代换得到BD=DG=DC，得到B、C、G三点以BC为直径的圆周上，利用圆周角定理判断即可得证．

解答 （1）解：∵△BDG与四边形ACDG的周长相等，
∴BD+BG+DG=AC+CD+DG+AG，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴BG=AC+AG，
∵BG+（AC+AG）=AB+AC，
∴BG=$\frac{1}{2}$（AB+AC）=$\frac{1}{2}$（b+c）；
（2）证明：∵D、F分别为BC、AB的中点，
∴DF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$b，BF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$c，
∵FG=BG-BF=$\frac{1}{2}$（b+c）-$\frac{1}{2}$c=$\frac{1}{2}$b，
∴DF=FG，
∴∠FDG=∠FGD，
∵D、E分别为BC、AC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠EDG=∠FGD，
∴∠FDG=∠EDG，即DG平分∠EDF；
（3）证明：∵△GBD∽△GDF，且∠DFG＞∠B，∠BGD=∠DGF（公共角），
∴∠B=∠FDG，
由（2）得：∠FGD=∠FDG，
∴∠FGD=∠B，
∴DG=BD，
∵BD=CD，
∴DG=BD=CD，
∴B、C、G三点以BC为直径的圆周上，
∴∠BGC=90°，即BC⊥CG．

点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：三角形中位线定理，相似三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．