Question

11．在菱形ABCD中，∠A=60°，点E从A出发沿AB方向在射线AB上运动，点F从D出发沿DA方向在射线DA上运动，两点同时出发，且运动速度相同
（1）如图1，当点E，F分别在边AB，DA上时，连接FE，若EF⊥AD，AF=2，求DE的长
（2）如图1，点E，F分别在边AB，DA上运动，BF，DE相交于点G，连接CG，求证：CG=BG+DG
（3）如图2，当点E，F分别在边AB，DA延长线上时，DE与FB的延长线交于点G，试探究线段BG，CG与DG的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）解直角三角形得到AE=2AF=4，EF=$\sqrt{3}$AF=2$\sqrt{3}$，根据菱形的性质推出△ADB是等边三角形，得到AD=BD，∠A=∠ADB=60°，根据全等三角形的性质得到DF=AE=4，由勾股定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠DBF，根据菱形的性质得到△BCD是等边三角形，由等边三角形的性质得到∠CDB=∠CBD=60°，推出B，G，D，C四点共圆，根据圆周角定理得到∠BGC=∠BDC=60°，在CG上截取GH=BG，由等边三角形的性质得到BH=BG，∠GBH=60°，根据全等三角形的性质得到CH=DG，于是得到结论；
（3）根据全等三角形的性质得到∠AED=∠F，根据三角形的外角的性质得到∠BGD=∠BCD，得到B，G，C，D四点共圆，于是得到∠CGD=∠DBC=60°，∠BDG=∠BCH，延长CG到H，使GH=BG，根据等边三角形的性质得到BH=BG，∠H=60°，根据全等三角形的性质得到CH=DG，于是得到结论．

解答 解：（1）∵∠A=60°，EF⊥AD，AF=2，
∴AE=2AF=4，EF=$\sqrt{3}$AF=2$\sqrt{3}$，
∵在菱形ABCD中，AB=AD，
∴△ADB是等边三角形，
∴AD=BD，∠A=∠ADB=60°，
在△ADE与△DFB中$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}\\{∠A=∠BDF}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△DFB，
∴DF=AE=4，
∴DE=$\sqrt{D{F}^{2}+E{F}^{2}}$=2$\sqrt{7}$；

（2）∵△ADE≌△DFB，
∴∠ADE=∠DBF，
∵∠ADE+∠BDE=60°，
∴∠BDF+∠BDE=60°，
∵在菱形ABCD中，BC=CD，∠BCD=∠A=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CDB=∠CBD=60°，
∴∠GBC+∠CDG=180°，
∴B，G，D，C四点共圆，
∴∠BGC=∠BDC=60°，
在CG上截取GH=BG，
∴△BGH是等边三角形，
∴BH=BG，∠GBH=60°，
∴∠DBG=∠CBH，
在△DBG与△CBH中，$\left\{\begin{array}{l}{BG=BH}\\{∠DBG=∠CBH}\\{BD=BC}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△CBH，
∴CH=DG，
∵CG=CH+HG，
∴CG=BG+DG；

（3）DG=BG+CG，
理由：∵△ADE≌△DFB，
∴∠AED=∠F，
∵∠ABF=∠EBG，∠DAB=∠F+∠ABF=60°，
∴∠DGB=∠EBG+∠AED=60°，
∴∠BGD=∠BCD，
∴B，G，C，D四点共圆，
∴∠CGD=∠DBC=60°，∠BDG=∠BCH，
∴∠BGC=120°，
延长CG到H，使GH=BG，
∴△BGH是等边三角形，
∴BH=BG，∠H=60°，
在△DBG与△CBH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBC=∠H=60°}\\{∠BCH=∠BDG}\\{BD=BC}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△CBH，
∴CH=DG，
∵CH=CG+HG，
∴DG=BG+CG．

点评 本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．