Question

已知点A(－1，－1)在抛物线y＝(k²－1)x²－2(k－2)x＋1上．(1)求抛物线的对称轴；(2)若B点与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

思路点拨：由点在抛物线上，则点的坐标适合抛物线的解析式，求得k，用配方法得到抛物线的对称轴．根据对称性求得点B的坐标，由直线与抛物线的位置关系的特征求出过点B的直线方程． 　　评注：这是一道考查抛物线有关性质及直线与抛物线位置关系的综合题． 　　由于此题中抛物线的对称轴平行于y轴，又由于A点关于抛物线对称轴的对称点是B，所以它们的纵坐标相同，A、B两点连线的中点在对称轴上，所以＝－，即xB＝－，故点B的坐标为B(－，－1)． 　　直线与抛物线相切，有且只有一个公共点，直线与抛物线解析式联立得到的方程组有且只有一个解，消去y后得到关于x的一元二次方程有且只有一个解，即可得到方程判别式为零的关系式．另外，由于抛物线上的向上或向下离抛物线对称轴越来越远，故平行于抛物线的对称包括对称轴的直线与抛物线也有只有一个公共点，这是抛物线又一重要特征．