Question

【题目】已知△ABC是等边三角形，点D，E分别为边AB，AC上的点，且有AE＝DB，连接DE，DC．

（1）如图1，若AB＝6，∠DEC＝90°，求△DEC的面积．

（2）M为DE中点，当D，E分别为AB、AC的中点时，判定CD，AM的数量关系并说明理由．

（3）如图2，M为DE中点，当D，E分别为AB，AC上的动点时，判定CD，AM的数量关系并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）S△DEC＝4；（2）CD＝2AM．理由见解析；（3）CD＝2AM．理由见解析.

【解析】

（1）如图1中，设AE=BD=x．证明AD=2AE=2x，构建方程求出x即可解决问题；

（2）利用等边三角形的性质判断出CD与BC的关系，再判断出△ADE是等边三角形，进而判断出AM与BC关系即可得出结论；

（3）先判断出△BDF是等边三角形，进而得出四边形ADFE是平行四边形，再利用全等三角形的性质得出AF=CD即可得出结论.

（1）如图1中，设AE＝BD＝x．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝60°，

∵∠DEC＝∠AED＝90°，

∴∠ADE＝30°，

∴AD＝2AE＝2x，DE＝AE＝x，

∵AB＝6，

∴x+2x＝6，

∴x＝2，

∴AE＝2，EC＝4，DE＝2，

∴S△DEC＝DEEC＝×2×4＝4．

（2）结论：CD＝2AM．

理由：如图2中，

∵AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∵点D是AB的中点，

∴CD＝BC，

∵点D，E是AB，AC的中点，

∴AD＝AB，AE＝AC，

∴AD＝AE，

∵∠BAC＝60°，

∴△ADE是等边三角形，

∵点M是DE的中点，

∴AM＝AD＝AB＝BC，

∴CD＝2AM，

故答案为：CD＝2AM，

（3）结论：CD＝2AM．

理由：如图2中，过点D作DF∥AC交BC于F，连接EF，AF．

∴∠BDF＝∠BAC＝60°，

∵AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝60°，

∴△BDF是等边三角形，

∴DF＝BD，

∵BD＝AE，

∴DF＝AE，

∵DF∥AE，

∴四边形ADFE是平行四边形，

∴AF必过DE的中点，

∵点M是DE的中点，

∴AF过DE的中点，

∴AF＝2AM，

在△ABF和△CBD中，

，

∴△ABF≌△CBD（SAS），

∴AF＝CD，

∴CD＝2AM.